( 1,5 ponto) Um inflador de balões de fluxo de 20000 pi cm^3 / min está sendo utilizado para encher um balão esférico. Com que rapidez o diâmetro do cresce quando o raio do balão atinge 5 cm ?

Passo 1

O enunciado diz que um inflador fornece volume a uma taxa de dVdt=20000pi c m^3/min para encher um balão esférico de raio r. Pede-se a rapidez de variação do diâmetro D quando r=5 cm. Vamos usar taxas relacionadas e a fórmula do volume da esfera.

Passo 2

A relação entre volume e raio é
V = 43pi r^3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
dVdt = 4pi r^2 drdt

Passo 3

Isolando drdt e substituindo dVdt=20000pi e r=5, vem
drdt = 20000pi4pi,(5)^2 = 20000100 = 200 cm/min

Passo 4

Como D = 2r, derivando em relação a t:
dDdt = 2,drdt = 2cdot200 = 400 cm/min

Resposta

Quando o raio atinge 5 cm, o diâmetro cresce a 400 cm/min.

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