(a) Calcule todos os polinômios mônicos de grau 2 que são redutíveis em
.
(b) Quantos polinômios mônicos de grau 2 irredutíveis existem em
? Justifique sua resposta.
(c) De forma geral, quantos polinômios mônicos de grau 2 irredutíveis existem em
, sendo
um número primo? Justifique sua resposta.
(b) Quantos polinômios mônicos de grau 2 irredutíveis existem em
(c) De forma geral, quantos polinômios mônicos de grau 2 irredutíveis existem em
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
-
Perguntas:
(a) Calcular todos os polinômios monicos de grau 2 que são redutíveis em.
(b) Determinar quantos polinômios monicos de grau 2 irredutíveis existem eme justificar.
(c) De forma geral, determinar quantos polinômios monicos de grau 2 irredutíveis existem empara primo e justificar. -
Informações úteis:
- “Monico de grau 2” significa polinômio de forma
com no corpo considerado. - Em
os elementos possíveis são e . Logo os coeficientes só podem ser ou . - Um polinômio de grau
é redutível sobre um corpo se, e somente se, possui uma raiz nesse corpo (pois qualquer fatorização não-trivial de grau é produto de polinômios lineares).
- “Monico de grau 2” significa polinômio de forma
Passo 2
Explico a ideia prática para identificar redutibilidade (uma pequena “lição”):
- Forma geral dos monicos de grau
sobre um corpo: onde pertencem ao corpo. - Por que “grau
é redutível ⇔ tem raiz no corpo”? Justificativa curta e clara: - Se o polinômio é redutível, então existe fatoração não-trivial
com no corpo; então é raiz (porque substituir anula o fator ). - Se existe uma raiz
no corpo, então divide o polinômio e sobra um fator linear, logo ele se fatoriza em dois lineares e é redutível.
- Se o polinômio é redutível, então existe fatoração não-trivial
- Estratégia prática em
: listar todos os monicos (são casos) e testar se ou é raiz (avaliar o polinômio em e ).
Passo 3
Listagem dos monicos de grau
em
. Como
, os casos são:
Escrevendo mais simples:
Agora vou testar raízes: para um polinômio
em
temos
- Se
então é raiz; se então é raiz.
Passo 4
Avaliação concreta e fatorizações quando aplicável.
- Para
:
-
, logo é raiz. De fato , é redutível (produto de dois polinômios lineares iguais e ).
- Para
:
-
(não zero), em . Logo é raiz. - Fatorização:
em (pois ), então é redutível.
- Para
:
-
, logo é raiz. - Fatorização:
, redutível.
- Para
:
-
e em . Então não tem raiz em . - Como é grau
sem raiz, é irredutível em .
Passo 5
Conclusões específicas para as partes (a) e (b), já justificadas nos passos anteriores:
- Em
os monicos de grau são os quatro listados; três deles têm raiz em e por isso são redutíveis; um deles não tem raiz e é irredutível. - Verificação com a fórmula geral a seguir (confirmação rápida): para
a contagem geral dá polinômio irredutível, coincidente com o resultado.
Passo 6
Agora a parte (c): contar em geral quantos polinômios monicos de grau
irredutíveis existem em
,
primo. Vou explicar passo a passo a contagem.
-
Total de polinômios monicos de grau
em : - Forma geral
com . - Há
escolhas para e para , logo polinômios monicos de grau no total.
- Forma geral
-
Quantos são redutíveis? Equivalente a quantos se escrevem como produto de dois fatores lineares monicos. Cada fator linear monico em
tem a forma com . Assim um produto monico de dois lineares é para uma escolha de . Esse produto determina um polinômio monico de grau . - Contagem cuidadosa: as ordens
e geram o mesmo polinômio quando . Se obtém-se os quadrados . - Número de pares ordenados
é , mas pares que definem o mesmo polinômio correspondem a permutar e . Portanto o número de polinômios distintos obtidos é o número de pares não ordenados com repetição permitida, isto é - Outra forma de ver: há
casos com (os quadrados) e casos com não ordenados; somando dá .
- Contagem cuidadosa: as ordens
-
Logo o número de polinômios monicos de grau
irredutíveis é -
Observação ligada à condição de raiz: para grau
em corpo finito, ser redutível equivale a ter pelo menos uma raiz no corpo; o contado acima corresponde exatamente a contar todos os possíveis conjuntos de raízes (com multiplicidade) em .
Resposta
(a)
(b)
(c)