(a) Calcule todos os polinômios mônicos de grau 2 que são redutíveis em \mathbb{Z}_{2}[x].
(b) Quantos polinômios mônicos de grau 2 irredutíveis existem em \mathbb{Z}_{2}[x] ? Justifique sua resposta.
(c) De forma geral, quantos polinômios mônicos de grau 2 irredutíveis existem em \mathbb{Z}_{p}[x], sendo p um número primo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • Perguntas:
    (a) Calcular todos os polinômios monicos de grau 2 que são redutíveis em \mathbb{Z}_{2}[x].
    (b) Determinar quantos polinômios monicos de grau 2 irredutíveis existem em \mathbb{Z}_{2}[x] e justificar.
    (c) De forma geral, determinar quantos polinômios monicos de grau 2 irredutíveis existem em \mathbb{Z}_{p}[x] para p primo e justificar.
  • Informações úteis:
    • “Monico de grau 2” significa polinômio de forma \,x^{2}+ax+b com a,b no corpo considerado.
    • Em \mathbb{Z}_{2} os elementos possíveis são 0 e 1. Logo os coeficientes a,b só podem ser 0 ou 1.
    • Um polinômio de grau 2 é redutível sobre um corpo se, e somente se, possui uma raiz nesse corpo (pois qualquer fatorização não-trivial de grau 2 é produto de polinômios lineares).

Passo 2

Explico a ideia prática para identificar redutibilidade (uma pequena “lição”):
  • Forma geral dos monicos de grau 2 sobre um corpo: \,x^{2}+ax+b onde a,b pertencem ao corpo.
  • Por que “grau 2 é redutível ⇔ tem raiz no corpo”? Justificativa curta e clara:
    • Se o polinômio é redutível, então existe fatoração não-trivial (x-\alpha)(x-\beta) com \alpha,\beta no corpo; então \alpha é raiz (porque substituir x=\alpha anula o fator (x-\alpha)).
    • Se existe uma raiz \gamma no corpo, então (x-\gamma) divide o polinômio e sobra um fator linear, logo ele se fatoriza em dois lineares e é redutível.
  • Estratégia prática em \mathbb{Z}_{2}: listar todos os monicos \,x^{2}+ax+b (são 2\cdot2=4 casos) e testar se 0 ou 1 é raiz (avaliar o polinômio em x=0 e x=1).

Passo 3

Listagem dos monicos de grau 2 em \mathbb{Z}_{2}[x]. Como a,b\in\{0,1\}, os casos são:
x^{2}+0\cdot x+0,\quad x^{2}+0\cdot x+1,\quad x^{2}+1\cdot x+0,\quad x^{2}+1\cdot x+1.
Escrevendo mais simples:
x^{2},\quad x^{2}+1,\quad x^{2}+x,\quad x^{2}+x+1.
Agora vou testar raízes: para um polinômio f(x)=x^{2}+ax+b em \mathbb{Z}_{2} temos
f(0)=b,\qquad f(1)=1+a+b \pmod{2}.
  • Se f(0)=0 então 0 é raiz; se f(1)=0 então 1 é raiz.

Passo 4

Avaliação concreta e fatorizações quando aplicável.
  1. Para f(x)=x^{2}:
  • f(0)=0, logo 0 é raiz. De fato x^{2}=x\cdot x, é redutível (produto de dois polinômios lineares iguais x e x).
  1. Para f(x)=x^{2}+1:
  • f(0)=1 (não zero), f(1)=1+0+1=0 em \mathbb{Z}_{2}. Logo 1 é raiz.
  • Fatorização: (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1=x^{2}+1 em \mathbb{Z}_{2} (pois 2x=0), então é redutível.
  1. Para f(x)=x^{2}+x:
  • f(0)=0, logo 0 é raiz.
  • Fatorização: x^{2}+x=x(x+1), redutível.
  1. Para f(x)=x^{2}+x+1:
  • f(0)=1 e f(1)=1+1+1=1 em \mathbb{Z}_{2}. Então não tem raiz em \mathbb{Z}_{2}.
  • Como é grau 2 sem raiz, é irredutível em \mathbb{Z}_{2}[x].

Passo 5

Conclusões específicas para as partes (a) e (b), já justificadas nos passos anteriores:
  • Em \mathbb{Z}_{2}[x] os monicos de grau 2 são os quatro listados; três deles têm raiz em \mathbb{Z}_{2} e por isso são redutíveis; um deles não tem raiz e é irredutível.
  • Verificação com a fórmula geral a seguir (confirmação rápida): para p=2 a contagem geral dá \dfrac{p(p-1)}{2}=\dfrac{2\cdot1}{2}=1 polinômio irredutível, coincidente com o resultado.

Passo 6

Agora a parte (c): contar em geral quantos polinômios monicos de grau 2 irredutíveis existem em \mathbb{Z}_{p}[x], p primo. Vou explicar passo a passo a contagem.
  • Total de polinômios monicos de grau 2 em \mathbb{Z}_{p}[x]:
    • Forma geral \,x^{2}+ax+b com a,b\in\mathbb{Z}_{p}.
    • p escolhas para a e p para b, logo p^{2} polinômios monicos de grau 2 no total.
  • Quantos são redutíveis? Equivalente a quantos se escrevem como produto de dois fatores lineares monicos. Cada fator linear monico em \mathbb{Z}_{p}[x] tem a forma (x-r) com r\in\mathbb{Z}_{p}. Assim um produto monico de dois lineares é (x-r)(x-s) para uma escolha de r,s\in\mathbb{Z}_{p}. Esse produto determina um polinômio monico de grau 2.
    • Contagem cuidadosa: as ordens (r,s) e (s,r) geram o mesmo polinômio quando r\ne s. Se r=s obtém-se os quadrados (x-r)^{2}.
    • Número de pares ordenados (r,s) é p^{2}, mas pares que definem o mesmo polinômio correspondem a permutar r e s. Portanto o número de polinômios distintos obtidos é o número de pares não ordenados com repetição permitida, isto é \text{nº redutíveis monicos}=\binom{p+1}{2}=\frac{p(p+1)}{2}.ºí
    • Outra forma de ver: há p casos com r=s (os quadrados) e \dfrac{p(p-1)}{2} casos com r\ne s não ordenados; somando dá p+\dfrac{p(p-1)}{2}=\dfrac{p(p+1)}{2}.
  • Logo o número de polinômios monicos de grau 2 irredutíveis é
    \text{total} - \text{redutíveis} = p^{2}-\frac{p(p+1)}{2}=\frac{p(p-1)}{2}.í
  • Observação ligada à condição de raiz: para grau 2 em corpo finito, ser redutível equivale a ter pelo menos uma raiz no corpo; o contado acima corresponde exatamente a contar todos os possíveis conjuntos de raízes (com multiplicidade) em \mathbb{Z}_{p}.

Resposta

(a) \;x^{2},\;x^{2}+1,\;x^{2}+x
(b) \;1
(c) \;\dfrac{p(p-1)}{2}

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