Verifique se é verdadeiro ou falso. JUSTIFIQUE sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x y(x-y)x^4+y^4=0.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=dfracxy(x-y)x^4+y^4 e queremos verificar se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos para concluir se esse limite existe (e se seria igual a zero).

Passo 2

Para que o limite exista e valha um mesmo número L, a aproximação ao ponto (0,0) por qualquer curva deve levar ao mesmo L. Uma técnica padrão é usar a parametrização y=kx, com k constante, e verificar o resultado.

Passo 3

Substituindo y=kx em f(x,y), temos
f(x,kx)=x,(kx)l(x-kxr)x^4+(kx)^4 =kx^2(1-k)xx^4(1+k^4) =k(1-k)(1+k^4)x

Passo 4

Para kneq0 e kneq1, essa expressão se comporta como dfracconstx quando xto0, ou seja, diverge em vez de tender a um valor finito. Por exemplo, no caso k=-1 (isto é, y=-x),
f(x,-x)=-1,(1-(-1))(1+(-1)^4)x=-22x=-1x,
que claramente não tende a 0 (nem a um número finito) quando xto0. Portanto, há trajetórias que não levam a 0.

Passo 5

Como encontramos caminhos que fazem f(x,y) divergir, o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe, logo não é igual a zero.

Resposta

Falso.

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