(2,0 pontos) A equação da elipse de centro \mathrm{C}=(-2,1), de excentricidade \frac{3}{5} \mathrm{e} de eixo maior horizontal com comprimento 20 é:
a) \frac{(x+2)^{2}}{100}+\frac{(y-1)^{2}}{64}=1
b) \frac{(x-2)^{2}}{100}+\frac{(y-1)^{2}}{64}=1
c) \frac{(x-2)^{2}}{100}+\frac{(y+1)^{2}}{64}=1
d) \frac{(x+2)^{2}}{100}+\frac{(y+1)^{2}}{64}=1
e) \frac{(x+2)^{2}}{64}+\frac{(y-1)^{2}}{100}=1

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com centro \mathrm{C}=(-2,1), excentricidade \frac{3}{5}, eixo maior horizontal e comprimento do eixo maior igual a 20.
A pergunta é: qual das alternativas apresentadas é a equação dessa elipse?
Informações relevantes (listadas claramente):
  • centro: \mathrm{C}=(-2,1)
  • excentricidade: e=\dfrac{3}{5}
  • eixo maior horizontal
  • comprimento do eixo maior: 2a=20 (ou seja, semieixo maior a a ser encontrado)

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse centrada em (h,k):
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
quando o eixo maior é horizontal. Aqui:
  • (h,k) é o centro da elipse;
  • a é o semieixo maior (metade do comprimento do eixo maior);
  • b é o semieixo menor;
  • c é a distância do centro a cada foco;
  • a excentricidade é definida por e=\dfrac{c}{a}.
    Além disso, para elipse com a>b vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Vou usar essas definições: explicar cada símbolo é importante para você conseguir aplicar a mesma receita em outras questões.

Passo 3

Determinar a a partir do comprimento do eixo maior. Como o comprimento do eixo maior é 2a=20, temos
a= \frac{20}{2}=10.
Portanto \,a=10 e \,a^{2}=100.

Passo 4

Usar a excentricidade para encontrar c. Pela definição e=\dfrac{c}{a}, temos
c = a\cdot e = 10\cdot \frac{3}{5}.
Fazendo a conta:
c = 10\cdot \frac{3}{5}=10\cdot 0{,}6=6,
então \,c=6 e \,c^{2}=36.

Passo 5

Calcular b^{2} usando a relação c^{2}=a^{2}-b^{2}. Isolando b^{2}:
b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Substituindo os valores que encontramos:
b^{2}=100-36=64.
Logo b=\sqrt{64}=8, mas o que importa na equação é b^{2}=64.

Passo 6

Montar a equação com o centro (h,k)=(-2,1), com a^{2}=100 para o termo em x (porque o eixo maior é horizontal) e b^{2}=64 para o termo em y. Lembre que para o centro (h,k)=(-2,1) o termo em x fica (x-(-2))=(x+2) e o termo em y fica (y-1). Assim a equação é
\frac{(x+2)^{2}}{100}+\frac{(y-1)^{2}}{64}=1.
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde exatamente à alternativa (a).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados