(2,0 pontos) A equação da elipse de centro
, de excentricidade
de eixo maior horizontal com comprimento 20 é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma elipse com centro
, excentricidade
, eixo maior horizontal e comprimento do eixo maior igual a
.
A pergunta é: qual das alternativas apresentadas é a equação dessa elipse?
A pergunta é: qual das alternativas apresentadas é a equação dessa elipse?
Informações relevantes (listadas claramente):
- centro:
- excentricidade:
- eixo maior horizontal
- comprimento do eixo maior:
(ou seja, semieixo maior a ser encontrado)
Passo 2
Vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse centrada em
:
quando o eixo maior é horizontal. Aqui:
-
é o centro da elipse; -
é o semieixo maior (metade do comprimento do eixo maior); -
é o semieixo menor; -
é a distância do centro a cada foco; - a excentricidade é definida por
.
Além disso, para elipse comvale a relação
Vou usar essas definições: explicar cada símbolo é importante para você conseguir aplicar a mesma receita em outras questões.
Passo 3
Determinar
a partir do comprimento do eixo maior. Como o comprimento do eixo maior é
, temos
Portanto
e
.
Passo 4
Usar a excentricidade para encontrar
. Pela definição
, temos
Fazendo a conta:
então
e
.
Passo 5
Calcular
usando a relação
. Isolando
:
Substituindo os valores que encontramos:
Logo
, mas o que importa na equação é
.
Passo 6
Montar a equação com o centro
, com
para o termo em
(porque o eixo maior é horizontal) e
para o termo em
. Lembre que para o centro
o termo em
fica
e o termo em
fica
. Assim a equação é
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde exatamente à alternativa (a).
Resposta
(a)