(1,0 ponto) Determine o raio e o intervalo de convergência da seguinte série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^{n}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^{n}}{5^{n}}
e pede duas coisas:
  • Determinar o raio de convergência da série de potências.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A série é uma série de potências centrada em x=-1 porque os termos envolvem (x+1)^{n}.
  • Cada termo pode ser escrito como n\bigl(\tfrac{x+1}{5}\bigr)^{n}.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral de forma mais conveniente: defina
c=\frac{x+1}{5},
então o termo geral da série é
b_n = n c^{n}.
Agora vou usar o teste da razão (ratio test) para séries numéricas. O teste da razão diz o seguinte: para uma série \sum b_n, se existir
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|,
então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aplicando o teste da razão a b_n = n c^n:
\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| = \left|\frac{(n+1)c^{\,n+1}}{n c^{n}}\right| = \frac{n+1}{n}\,|c|
e tomando o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,|c| = 1\cdot |c| = |c|.
Portanto a série converge (absolutamente) se |c|<1, isto é,
\left|\frac{x+1}{5}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+1|<5.

Passo 3

A desigualdade |x+1|<5 determina o raio de convergência e o intervalo central:
  • O raio de convergência é o valor R tal que |x+1|<R, logo R=5.
  • O intervalo aberto central correspondente é
-1-5 < x < -1+5 \quad\Longrightarrow\quad -6 < x < 4,
ou seja, o intervalo (-6,4), possivelmente com inclusão de algum(s) extremo(s) dependendo do teste nos pontos finais.
Agora é obrigatório testar os extremos x=4 e x=-6 separadamente.
Testando x=4:
  • Nesse caso x+1=5, então c=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 1^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n.
Pela condição necessária para convergência de séries (os termos devem tender a zero), note que o termo geral é n, que não tende a zero; de fato a soma diverge (série harmônica multiplicada por n diverge mais fortemente). Portanto a série diverge em x=4.
Testando x=-6:
  • Nesse caso x+1=-5, então c=-1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n}.
O módulo dos termos é n, que não tende a zero, logo novamente a condição necessária para convergência falha. Portanto a série diverge em x=-6.

Passo 4

Conclusão final a partir dos passos anteriores:
  • O raio de convergência é R=5.
  • O intervalo de convergência é o intervalo aberto (-6,4), porque em ambos os extremos a série diverge.

Resposta

R=5
(-6,4)

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