A desigualdade |x+1|<5 determina o raio de convergência e o intervalo central:
O raio de convergência é o valor R tal que |x+1|<R, logo R=5.
O intervalo aberto central correspondente é
-1-5 < x < -1+5 \quad\Longrightarrow\quad -6 < x < 4,
ou seja, o intervalo (-6,4), possivelmente com inclusão de algum(s) extremo(s) dependendo do teste nos pontos finais.
Agora é obrigatório testar os extremos x=4 e x=-6 separadamente.
Testando x=4:
Nesse caso x+1=5, então c=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} n\cdot 1^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n.
Pela condição necessária para convergência de séries (os termos devem tender a zero), note que o termo geral é n, que não tende a zero; de fato a soma diverge (série harmônica multiplicada por n diverge mais fortemente). Portanto a série diverge em x=4.
Testando x=-6:
Nesse caso x+1=-5, então c=-1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n}.
O módulo dos termos é n, que não tende a zero, logo novamente a condição necessária para convergência falha. Portanto a série diverge em x=-6.
Passo 4
Conclusão final a partir dos passos anteriores:
O raio de convergência é R=5.
O intervalo de convergência é o intervalo aberto (-6,4), porque em ambos os extremos a série diverge.