( 0,5 ponto) Determine a série de Maclaurin da função f(x)=\sin ^{2}(x), sabendo que:
\cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}, \quad \text { para todo } x \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede a série de Maclaurin (ou seja, a expansão em série de potências em torno de 0) da função f(x)=\sin^{2}(x).
  • Nos é dada a série de Maclaurin para \cos(x):
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!},\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • Objetivo concreto: escrever \sin^{2}(x) como uma série de potências em x, preferivelmente em forma de soma ( \sum) e mostrar os primeiros termos.

Passo 2

Identidade trigonométrica útil (e prova curta): usar a fórmula do ângulo duplo para cosseno.
\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x).
Isolando \sin^{2}(x) obtemos a identidade que vamos aplicar:
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Explicação didática: a fórmula \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x pode ser reescrita como \cos(2x)=1-2\sin^{2}x porque \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Essa identidade é padrão e muito usada para transformar potências de seno em cosseno (ou vice-versa).

Passo 3

Substituir a série de \cos com argumento 2x. Peguei a série de \cos fornecida e substituí x por 2x:
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2x)^{2n}}{(2n)!}.
Simplificando (2x)^{2n}:
(2x)^{2n}=2^{2n}x^{2n},
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\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 4

Calcular 1-\cos(2x) e dividir por 2 conforme a identidade.
Primeiro:
1-\cos(2x)=1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.
Note que o termo n=0 da soma é 1, então esse 1 cancela com o 1 inicial; por isso é conveniente reescrever a diferença como soma a partir de n=1. Fazendo isso obtemos:
1-\cos(2x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[-\frac{(-1)^{n}2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}\right] =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.
Agora dividimos por 2:
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}.
Esta é uma forma compacta e correta da série: observe que só aparecem potências pares x^{2n} (a função \sin^{2}(x) é par) e o somatório começa em n=1 porque o termo constante se anulou.

Passo 5

Escrever os primeiros termos explícitos (para “ver com os olhos” e checar):
Calculemos para n=1,2,3:
  • n=1: coeficiente \dfrac{(-1)^{2}2^{1}}{2!}=\dfrac{2}{2}=1, termo x^{2}.
  • n=2: coeficiente \dfrac{(-1)^{3}2^{3}}{4!}=-\dfrac{8}{24}=-\dfrac{1}{3}, termo -\dfrac{1}{3}x^{4}.
  • n=3: coeficiente \dfrac{(-1)^{4}2^{5}}{6!}=\dfrac{32}{720}=\dfrac{2}{45}, termo \dfrac{2}{45}x^{6}.
    Portanto os primeiros termos são
\sin^{2}(x)=x^{2}-\frac{1}{3}x^{4}+\frac{2}{45}x^{6}+\cdots.

Passo 6

Comentário sobre convergência e dica de prova/exame:
  • A série de \cos(x) converge para todo x\in\mathbb{R} (é uma função inteira), então a substituição x\mapsto 2x e as operações feitas são legítimas; a série resultante para \sin^{2}(x) também converge para todo x.
  • Dica prática para a prova: ao expandir potências de funções trigonométricas, sempre verifique identidades trigonométricas que reduzem potência a função trigonométrica de múltiplo ângulo — costuma ser muito mais rápido e evitar multiplicações de séries que geram erro.

Passo 7

Resumo final da forma mais conveniente (forma em soma e primeira linha de termos):
A série de Maclaurin para \sin^{2}(x) pode ser usada diretamente em prova tanto na forma somatória quanto nos primeiros termos explicitos.

Resposta

\sin^{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}}{(2n)!}\,x^{2n}
\sin^{2}(x)=x^{2}-\frac{1}{3}x^{4}+\frac{2}{45}x^{6}+\cdots

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