( 0,5 ponto) Determine a série de Maclaurin da função
, sabendo que:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede a série de Maclaurin (ou seja, a expansão em série de potências em torno de
) da função . - Nos é dada a série de Maclaurin para
:
- Objetivo concreto: escrever
como uma série de potências em , preferivelmente em forma de soma ( ) e mostrar os primeiros termos.
Passo 2
Identidade trigonométrica útil (e prova curta): usar a fórmula do ângulo duplo para cosseno.
Isolando
obtemos a identidade que vamos aplicar:
Explicação didática: a fórmula
pode ser reescrita como
porque
. Essa identidade é padrão e muito usada para transformar potências de seno em cosseno (ou vice-versa).
Passo 3
Substituir a série de
com argumento
. Peguei a série de
fornecida e substituí
por
:
Simplificando
:
logo
Passo 4
Calcular
e dividir por
conforme a identidade.
Primeiro:
Primeiro:
Note que o termo
da soma é
, então esse
cancela com o
inicial; por isso é conveniente reescrever a diferença como soma a partir de
. Fazendo isso obtemos:
Agora dividimos por
:
Esta é uma forma compacta e correta da série: observe que só aparecem potências pares
(a função
é par) e o somatório começa em
porque o termo constante se anulou.
Passo 5
Escrever os primeiros termos explícitos (para “ver com os olhos” e checar):
Calculemos para :
Calculemos para
-
: coeficiente , termo . -
: coeficiente , termo . -
: coeficiente , termo .
Portanto os primeiros termos são
Passo 6
Comentário sobre convergência e dica de prova/exame:
- A série de
converge para todo (é uma função inteira), então a substituição e as operações feitas são legítimas; a série resultante para também converge para todo . - Dica prática para a prova: ao expandir potências de funções trigonométricas, sempre verifique identidades trigonométricas que reduzem potência a função trigonométrica de múltiplo ângulo — costuma ser muito mais rápido e evitar multiplicações de séries que geram erro.
Passo 7
Resumo final da forma mais conveniente (forma em soma e primeira linha de termos):
A série de Maclaurin para pode ser usada diretamente em prova tanto na forma somatória quanto nos primeiros termos explicitos.
A série de Maclaurin para