Justique sua resposta para cada item.
a) ( 0,5 ponto) Use a definição de sequências de somas parciais e decida se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
b) (0,5 ponto) Podemos afirmar que a série
é divergente?
c) (0,5 ponto) A série
é absolutamente convergente?
a) ( 0,5 ponto) Use a definição de sequências de somas parciais e decida se a série
b) (0,5 ponto) Podemos afirmar que a série
c) (0,5 ponto) A série
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais objetos aparecem em cada item, sem resolver nada ainda.
(a) Pergunta: decidir se a série
é convergente ou divergente usando a definição de sequência de somas parciais; se for convergente, calcular a soma.
Informações dadas: a soma inicia em
e o termo geral é
.
(b) Pergunta: podemos afirmar que a série
é divergente?
Informações dadas: o termo geral é
, série começando em
.
(c) Pergunta: a série
é absolutamente convergente?
Informações dadas: o termo geral é
, série começando em
.
Passo 2
(a) Definição e estratégia: uma série
converge se a sequência das somas parciais
, com
tem limite finito quando
. Aqui
. A técnica que vamos usar é decompor
em frações simples (frações parciais) para obter uma soma telescópica, o que facilita calcular
explicitamente e então o limite.
Passo 3
Decomposição em frações parciais: procurar constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Escolhendo
dá
então
. Escolhendo
dá
então
. Logo
Passo 4
Construir a soma parcial e ver o telescópico: para
,
Separando as somas e fazendo mudança de índice:
Subtraindo (isso é o efeito telescópico) obtemos
Simplificando,
Passo 5
Tomar limite das somas parciais: quando
temos
e
. Portanto
Conclusão do item (a): a sequência de somas parciais converge para
, logo a série
é convergente e sua soma é
.
Breve comentário didático: telescoping foi possível porque a decomposição em frações parciais transformou cada termo em uma diferença que cancela vizinhos ao somar; esse é um método clássico para séries racionais do tipo
e afins.
Passo 6
(b) Queremos saber se
é divergente. Um teste prático e simples aqui é o teste da razão (d’Alembert): para termos positivos, se
então a série converge absolutamente. Tomando
, calcule
Agora o limite quando
é
Como
, pelo teste da razão a série converge absolutamente (portanto também converge). Assim a resposta à pergunta “podemos afirmar que é divergente?” é: não, não podemos — a série é convergente.
Comentário intuitivo:
cresce extremamente rápido (muito mais rápido que qualquer potência de
), então
tende a zero muito rápido e os termos são somáveis.
Passo 7
(c) Analisar
. Primeiro observar que os termos são positivos, então absoluta convergência equivale à convergência simples. Uma condição necessária para que uma série
converja é que
. Portanto é suficiente verificar o limite de
Passo 8
Estudar o comportamento de
por meio do logaritmo natural: seja
Usar a expansão (fórmula de Taylor)
quando
. Tomando
obtemos
Multiplicando por
,
Logo
quando
. Portanto
. Em particular,
não tende a zero — ao contrário, cresce exponencialmente, aproximadamente como
.
Passo 9
Concluir para (c): como o termo geral
não tende a zero (na verdade tende a
), a série
não pode convergir. Assim a série não é absolutamente convergente (nem convergente simples). Uma observação rápida alternativa: também se pode ver que
, então
cresce geometricamente e a série diverge.
Resposta
(a) Convergente; soma
.
(b) Não; a série
é convergente (converge absolutamente).
(c) Não; a série
diverge, logo não é absolutamente convergente.