Justique sua resposta para cada item.
a) ( 0,5 ponto) Use a definição de sequências de somas parciais e decida se a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{4}{n^{2}-1} é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
b) (0,5 ponto) Podemos afirmar que a série \sum_{n=1} \frac{n}{e^{n^{2}}} é divergente?
c) (0,5 ponto) A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^{2}} é absolutamente convergente?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais objetos aparecem em cada item, sem resolver nada ainda.
(a) Pergunta: decidir se a série \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{4}{n^{2}-1} é convergente ou divergente usando a definição de sequência de somas parciais; se for convergente, calcular a soma.
Informações dadas: a soma inicia em n=2 e o termo geral é a_n=\dfrac{4}{n^{2}-1}.
(b) Pergunta: podemos afirmar que a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{e^{n^{2}}} é divergente?
Informações dadas: o termo geral é b_n=\dfrac{n}{e^{n^{2}}}, série começando em n=1.
(c) Pergunta: a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n^{2}} é absolutamente convergente?
Informações dadas: o termo geral é c_n=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n^{2}}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^{2}}, série começando em n=1.

Passo 2

(a) Definição e estratégia: uma série \sum a_n converge se a sequência das somas parciais \left(S_N\right)_{N\ge}, com
S_N=\sum_{n=2}^{N} a_n,
tem limite finito quando N\to\infty. Aqui a_n=\dfrac{4}{n^{2}-1}. A técnica que vamos usar é decompor a_n em frações simples (frações parciais) para obter uma soma telescópica, o que facilita calcular S_N explicitamente e então o limite.

Passo 3

Decomposição em frações parciais: procurar constantes A e B tais que
\frac{4}{n^{2}-1}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando por n^{2}-1=(n-1)(n+1) obtemos
4 = A(n+1)+B(n-1).
Escolhendo n=1 4=2A então A=2. Escolhendo n=-1 4=-2B então B=-2. Logo
\frac{4}{n^{2}-1}=\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n+1}.

Passo 4

Construir a soma parcial e ver o telescópico: para N\ge 2,
S_N=\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n+1}\right).
Separando as somas e fazendo mudança de índice:
\sum_{n=2}^{N}\frac{2}{n-1}=2\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k}, \qquad \sum_{n=2}^{N}\frac{2}{n+1}=2\sum_{k=3}^{N+1}\frac{1}{k}.
Subtraindo (isso é o efeito telescópico) obtemos
S_N=2\Bigg(\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{N+1}\frac{1}{k}\Bigg) =2\Big(1+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+1}\Big).
Simplificando,
S_N=3-2\Big(\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\Big).

Passo 5

Tomar limite das somas parciais: quando N\to\infty temos \dfrac{1}{N}\to 0 e \dfrac{1}{N+1}\to 0. Portanto
\lim_{N\to\infty} S_N = 3.
Conclusão do item (a): a sequência de somas parciais converge para 3, logo a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{4}{n^{2}-1} é convergente e sua soma é 3.
Breve comentário didático: telescoping foi possível porque a decomposição em frações parciais transformou cada termo em uma diferença que cancela vizinhos ao somar; esse é um método clássico para séries racionais do tipo \dfrac{1}{n(n+k)} e afins.

Passo 6

(b) Queremos saber se \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{e^{n^{2}}} é divergente. Um teste prático e simples aqui é o teste da razão (d’Alembert): para termos positivos, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}<1
então a série converge absolutamente. Tomando b_n=\dfrac{n}{e^{n^{2}}}, calcule
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\dfrac{n+1}{e^{(n+1)^{2}}}}{\dfrac{n}{e^{n^{2}}}} =\frac{n+1}{n}\,e^{-( (n+1)^{2}-n^{2})} =\left(1+\frac{1}{n}\right)e^{-(2n+1)}.
Agora o limite quando n\to\infty é
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)e^{-(2n+1)}=1\cdot 0=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente (portanto também converge). Assim a resposta à pergunta “podemos afirmar que é divergente?” é: não, não podemos — a série é convergente.
Comentário intuitivo: e^{n^{2}} cresce extremamente rápido (muito mais rápido que qualquer potência de n), então n/e^{n^{2}} tende a zero muito rápido e os termos são somáveis.

Passo 7

(c) Analisar \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n^{2}}. Primeiro observar que os termos são positivos, então absoluta convergência equivale à convergência simples. Uma condição necessária para que uma série \sum c_n converja é que c_n\to 0. Portanto é suficiente verificar o limite de
c_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}.

Passo 8

Estudar o comportamento de c_n por meio do logaritmo natural: seja
\ell_n=\ln c_n = n^{2}\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Usar a expansão (fórmula de Taylor) \ln(1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3}) quando x\to 0. Tomando x=\dfrac{1}{n} obtemos
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Multiplicando por n^{2},
\ell_n = n^{2}\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O(\frac{1}{n^{3}})\Big) = n - \frac{1}{2} + O\!\left(\frac{1}{n}\right).
Logo \ell_n \to +\infty quando n\to\infty. Portanto c_n=\mathrm{e}^{\ell_n}\to +\infty. Em particular, c_n não tende a zero — ao contrário, cresce exponencialmente, aproximadamente como \mathrm{e}^{n}.

Passo 9

Concluir para (c): como o termo geral c_n não tende a zero (na verdade tende a +\infty), a série \sum_{n=1}^{\infty} c_n não pode convergir. Assim a série não é absolutamente convergente (nem convergente simples). Uma observação rápida alternativa: também se pode ver que \big(c_n\big)^{1/n}=(1+1/n)^{n}\to \mathrm{e}>1, então c_n cresce geometricamente e a série diverge.

Resposta

(a) Convergente; soma 3.
(b) Não; a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{e^{n^{2}}} é convergente (converge absolutamente).
(c) Não; a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n^{2}} diverge, logo não é absolutamente convergente.

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