Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
d yd x=(1+y^2) tg x, y(0)=raiz3

Passo 1

O problema é um EDO de primeira ordem, separável, dado por dydx = (1+y^2)tan x com condição inicial y(0)=raiz3. Vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração de funções conhecidas.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e com x do outro:
dy1+y^2 = tan x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dy1+y^2 = integral tan x,dx

Passo 4

Sabemos que integral dy1+y^2=arctan y e integral tan x,dx = -ln|cos x| + C. Logo:
arctan y = -ln|cos x| + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=raiz3. Quando x=0 temos:
arctan(raiz3) = pi3 = -ln|cos 0| + C = 0 + C
Logo C=pi3. Substituindo de volta:
arctan y = pi3 - ln|cos x|

Passo 6

Por fim, resolvemos para y:
y = tanl(pi3 - ln|cos x|r)

Resposta

y = tanl(tfracpi3 - ln(cos x)r)

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