Sejam os vetores baru=(-8 ; 2 ; 16), barv=(6 ; 2 ; 3) e barw=(12 ;-3 ;-24), faça o que se pede:
a) 10,9 ponto ] Encontre os módulos e os versores de baru, barv e barw.
b) [0,6 ponto ] Encontre os angulos: theta1 entre baru e barv, theta2 entre baru e barw e theta3 entre barv e barw.
c) [0,2 pontoj Encontre o produco vetorial entre barv e barw.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3
baru=(-8,2,16), barv=(6,2,3) e barw=(12,-3,-24)
e pede:
a) módulos |baru|, |barv|, |barw| e versores u, v, w;
b) ângulos theta1=ang<=(baru,barv), theta2=ang<=(baru,barw), theta3=ang<=(barv,barw);
c) produto vetorial barvtimesbarw.
Para isso vamos usar as fórmulas de norma, dot‐product para cosseno de ângulo e determinante para cross‐product.

Passo 2

Calcular os módulos:
|baru| = raiz(-8)^2 + 2^2 + 16^2 = raiz64 + 4 + 256 = raiz324 = 18,
|barv| = raiz6^2 + 2^2 + 3^2 = raiz36 + 4 + 9 = raiz49 = 7,
|barw| = raiz12^2 + (-3)^2 + (-24)^2 = raiz144 + 9 + 576 = raiz729 = 27

Passo 3

Formar os versores dividindo cada vetor pelo seu módulo:
u = baru|baru| = l(-tfrac818,;tfrac218,;tfrac1618r) = l(-tfrac49,;tfrac19,;tfrac89r),
v = barv|barv| = l(tfrac67,;tfrac27,;tfrac37r),
w = barw|barw| = l(tfrac1227,;-tfrac327,;-tfrac2427r) = l(tfrac49,;-tfrac19,;-tfrac89r)

Passo 4

Para theta1=ang<=(baru,barv) usamos
costheta1 = barucdotbarv|baru|;|barv|, barucdotbarv = (-8)cdot6 + 2cdot2 + 16cdot3 = -48 + 4 + 48 = 4
Logo
costheta1 = 418cdot7 = 263,
theta1 = arccos!l(tfrac263r)

Passo 5

Para theta2=ang<=(baru,barw) temos
barucdotbarw = (-8)cdot12 + 2cdot(-3) + 16cdot(-24) = -96 -6 -384 = -486,
costheta2 = -48618cdot27 = -1 Longrightarrow theta2 = arccos(-1) = pi;rad = 180^circ

Passo 6

Para theta3=ang<=(barv,barw) calculamos
barvcdotbarw = 6cdot12 + 2cdot(-3) + 3cdot(-24) = 72 -6 -72 = -6,
costheta3 = -67cdot27 = -263,
theta3 = arccos!l(-tfrac263r)

Passo 7

Para o produto vetorial barvtimesbarw usamos o determinante:
barvtimesbarw = i & j & k 6 & 2 & 3 12 & -3 & -24 = i(2cdot(-24)-3cdot(-3)) - j(6cdot(-24)-3cdot12) + k(6cdot(-3)-2cdot12)
Isso dá
barvtimesbarw = i(-48 +9) - j(-144 -36) + k(-18 -24) = -39,i + 180,j - 42,k

Resposta

a)
|baru|=18, |barv|=7, |barw|=27.
u=(-tfrac49,tfrac19,tfrac89),
v=(tfrac67,tfrac27,tfrac37),
w=(tfrac49,-tfrac19,-tfrac89).
b)
theta1=arccos!l(tfrac263r),
theta2=180^circ,
theta3=arccos!l(-tfrac263r).
c)
barvtimesbarw=(-39,,180,,-42).

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