(1 ponto) Em um dia ensolarado, a probabilidade de um motociclista sofrer um acidente de moto (caso a use) é de 0.0004 . Considerando que acidentes ocorrem de forma independente (uns dos outros), se, em um dia de sol, 5999 motociclistas pilotarem suas motos, qual é a probabilidade de observarmos exatamente 5 acidentes (utilize a aproximação de poisson da distribuição binomial)?
(a) 0.935
(b) 0.060
(c) 0.940
(d) 0.063
(e) 0.065
(a) 0.935
(b) 0.060
(c) 0.940
(d) 0.063
(e) 0.065
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de observar exatamente 5 acidentes entre 5999 motociclistas num dia de sol, sabendo que a probabilidade de acidente para cada motociclista (se ele pilotar) é
e que os acidentes ocorrem de forma independente. Dados fornecidos:
O enunciado pede para usar a aproximação de Poisson da distribuição binomial.
Passo 2
Por que podemos aproximar por Poisson? Vou explicar didaticamente: a binomial
descreve o número de sucessos em
tentativas independentes com probabilidade
de sucesso cada. Quando
é grande,
é pequeno e
é moderado (não muito grande), a binomial é bem aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Aqui temos
grande e
pequeno, então usamos a aproximação de Poisson com
Isto facilita os cálculos porque a fórmula do Poisson é simples — já explico abaixo.
Passo 3
Calculemos
:
Explicação didática:
é a média esperada de acidentes (valor esperado). Intuitivamente esperamos cerca de
acidentes entre os
pilotos.
Passo 4
A fórmula da Poisson: se
, então a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos é
Aqui
. Vou explicar os termos:
-
vem da constante exponencial (aproximação da probabilidade de “nenhum” evento em processos de contagem), -
é multiplicado por si vezes, -
(fatorial) é multiplicado por todos os inteiros positivos menores que . Por exemplo .
Passo 5
Vamos calcular
passo a passo (para você conseguir reproduzir sem calculadora em parte):
Calculemos potências intermediárias:
Observação: aqui mostrei as multiplicações para você ver como chegar ao valor de
.
Passo 6
Calculemos
:
Explicação: dividimos a potência pelo fatorial para obter a parte não exponencial da fórmula.
Passo 7
Agora precisamos de
. Vou mostrar uma forma prática de obter esse valor aproximado:
Sabemos (ou podemos lembrar/consultar como valor padrão) que
portanto
Como
(expansão de Taylor ou valor aproximado), temos
Explicação: esse passo serve para você entender de onde vem o exponencial e como aproximá-lo manualmente se não tiver calculadora — multiplicando exponenciais conhecidos.
Passo 8
Finalmente, calculemos a probabilidade:
Arredondando para três casas decimais (como nas alternativas), isso dá aproximadamente
.
Passo 9
Compare com as alternativas: a alternativa cujo valor é
é a letra (b). Portanto a resposta correta é a alternativa (b).
Resposta
(b)