(1 ponto) Em um dia ensolarado, a probabilidade de um motociclista sofrer um acidente de moto (caso a use) é de 0.0004 . Considerando que acidentes ocorrem de forma independente (uns dos outros), se, em um dia de sol, 5999 motociclistas pilotarem suas motos, qual é a probabilidade de observarmos exatamente 5 acidentes (utilize a aproximação de poisson da distribuição binomial)?
(a) 0.935
(b) 0.060
(c) 0.940
(d) 0.063
(e) 0.065

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de observar exatamente 5 acidentes entre 5999 motociclistas num dia de sol, sabendo que a probabilidade de acidente para cada motociclista (se ele pilotar) é \;0,0004 e que os acidentes ocorrem de forma independente. Dados fornecidos:
n = 5999,\qquad p = 0,0004,\qquad\text{queremos } P(\text{exatamente }5\text{ acidentes}).
O enunciado pede para usar a aproximação de Poisson da distribuição binomial.

Passo 2

Por que podemos aproximar por Poisson? Vou explicar didaticamente: a binomial \mathrm{Bin}(n,p) descreve o número de sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso cada. Quando n é grande, p é pequeno e np é moderado (não muito grande), a binomial é bem aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda = np. Aqui temos n grande e p pequeno, então usamos a aproximação de Poisson com
\lambda = n p.
Isto facilita os cálculos porque a fórmula do Poisson é simples — já explico abaixo.

Passo 3

Calculemos \lambda:
\lambda = n p = 5999 \times 0,0004 = 2,3996.
Explicação didática: \lambda é a média esperada de acidentes (valor esperado). Intuitivamente esperamos cerca de 2{,}4 acidentes entre os 5999 pilotos.

Passo 4

A fórmula da Poisson: se X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda), então a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui k=5. Vou explicar os termos:
  • e^{-\lambda} vem da constante exponencial (aproximação da probabilidade de “nenhum” evento em processos de contagem),
  • \lambda^{k} é \lambda multiplicado por si k vezes,
  • k! (fatorial) é k multiplicado por todos os inteiros positivos menores que k. Por exemplo 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.

Passo 5

Vamos calcular \lambda^{5} passo a passo (para você conseguir reproduzir sem calculadora em parte):
\lambda = 2,3996.
Calculemos potências intermediárias:
\lambda^{2}=2,3996^{2}=5,75808016,
\lambda^{3}=\lambda^{2}\cdot\lambda=5,75808016\times2,3996\approx13,817089151936,
\lambda^{4}=\lambda^{3}\cdot\lambda\approx13,817089151936\times2,3996\approx33,15548712898563,
\lambda^{5}=\lambda^{4}\cdot\lambda\approx33,15548712898563\times2,3996\approx79,55990691471391.
Observação: aqui mostrei as multiplicações para você ver como chegar ao valor de \lambda^{5}.

Passo 6

Calculemos \dfrac{\lambda^{5}}{5!}:
5! = 120,
\frac{\lambda^{5}}{5!} \approx \frac{79,55990691471391}{120}\approx 0,6629992242892826.
Explicação: dividimos a potência pelo fatorial para obter a parte não exponencial da fórmula.

Passo 7

Agora precisamos de e^{-\lambda}=e^{-2,3996}. Vou mostrar uma forma prática de obter esse valor aproximado:
e^{-2,3996} = e^{-2{,}4+0{,}0004} = e^{-2{,}4}\,e^{0{,}0004}.
Sabemos (ou podemos lembrar/consultar como valor padrão) que
e^{-2} \approx 0,1353352832366127,\qquad e^{-0{,}4}\approx 0,6703200460356393,
portanto
e^{-2{,}4}=e^{-2}\,e^{-0{,}4}\approx 0,1353352832366127\times0,6703200460356393\approx0,0907179532894125.
Como e^{0{,}0004}\approx 1{,}00040008 (expansão de Taylor ou valor aproximado), temos
e^{-2,3996}\approx 0,0907179532894125\times1{,}00040008\approx 0,09075424047.
Explicação: esse passo serve para você entender de onde vem o exponencial e como aproximá-lo manualmente se não tiver calculadora — multiplicando exponenciais conhecidos.

Passo 8

Finalmente, calculemos a probabilidade:
P(X=5)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{5}}{5!}\approx 0,09075424047\times0,6629992242892826\approx 0,06017.
Arredondando para três casas decimais (como nas alternativas), isso dá aproximadamente 0,060.

Passo 9

Compare com as alternativas: a alternativa cujo valor é 0,060 é a letra (b). Portanto a resposta correta é a alternativa (b).

Resposta

(b) 0,060

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