O potencial elétrico numa placa é dado pela expressão V(x, y)=e^-2 x cos (2 y) :
(i) Encontre a direção e a magnitude da máxima taxa de variação do potencial no ponto (0, pi / 4).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um potencial elétrico descrito pela função $ V(x, y) = e^{-2x} \cos(2y) $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção e a taxa máxima de variação desse potencial. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois avaliar essas derivadas no ponto específico V(x, y) = e^-2x cos(2y) .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
  • Derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $:
    V
  • Derivada parcial de $ V $ em relação a $ y $:
    x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (0, pi/4).
  • Avaliando $ \frac{\partial V}{\partial x} $ em partial Vpartial x :
    (0, pi/4)
  • Avaliando $ \frac{\partial V}{\partial y} $ em partial Vpartial xg|(0, pi/4) = -2e^-2 cdot 0 cos(2 cdot pi4) = -2 cdot 1 cdot cos(pi2) = -2 cdot 0 = 0 :
    partial Vpartial y

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas no ponto específico, podemos formar o vetor gradiente nesse ponto. O vetor gradiente é dado por:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y ) = (0, -2)
A direção da máxima taxa de variação do potencial é na direção desse vetor. Já a magnitude da máxima taxa de variação é o comprimento desse vetor, que podemos calcular usando o teorema de Pitágoras.

Resposta

A direção da máxima taxa de variação do potencial no ponto (0, pi/4) é para baixo, ao longo do eixo $ y $ negativo. A magnitude dessa taxa de variação é $ 2 $.

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