O potencial elétrico numa placa é dado pela expressão :
(i) Encontre a direção e a magnitude da máxima taxa de variação do potencial no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um potencial elétrico descrito pela função $ V(x, y) = e^{-2x} \cos(2y) $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção e a taxa máxima de variação desse potencial. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois avaliar essas derivadas no ponto específico .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Com as derivadas parciais calculadas no ponto específico, podemos formar o vetor gradiente nesse ponto. O vetor gradiente é dado por:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y ) = (0, -2)
A direção da máxima taxa de variação do potencial é na direção desse vetor. Já a magnitude da máxima taxa de variação é o comprimento desse vetor, que podemos calcular usando o teorema de Pitágoras.
Resposta
A direção da máxima taxa de variação do potencial no ponto (0, pi/4) é para baixo, ao longo do eixo $ y $ negativo. A magnitude dessa taxa de variação é $ 2 $.