( 1 , 0 ponto) - Duas partículas se movem ao longo do eixo x . A posição da partícula 1 é dada por x= x, onde a=-8,0 t x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a, onde t=0 a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante 20 m / s velocidade da partícula 2 é de . Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido:
– Partícula 1 se move ao longo de x com posição
x1(t) = 6,0,t^2 + 3,0,t + 2,0(m)
– Partícula 2 tem aceleração
a2(t) = -8,0,t(m/s^2)
e velocidade inicial m/s.
Pergunta: em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?
Conteúdo: cinemática unidimensional. Vamos precisar de:
  1. derivar para achar ,
  2. integrar para achar e usar a condição inicial,
  3. igualar e resolver a equação.

Passo 2

Achar a velocidade da partícula 1 tirando a derivada da posição:
v1(t) ;=; ddtl(6,0,t^2 + 3,0,t + 2,0r) = 12,0,t + 3,0(m/s)

Passo 3

Achar a velocidade da partícula 2 integrando a aceleração:
v2(t) = integral a2(t),dt = integral (-8,0,t),dt = -4,0,t^2 + C
Para achar v2(0) = -4,0cdot0^2 + C = 20 ;Longrightarrow; C=20 , usamos v2(t) = -4,0,t^2 + 20(m/s) :
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Passo 4

Agora igualamos as velocidades:
v1(t) = v2(t) ;Longrightarrow; 12,0,t + 3,0 = -4,0,t^2 + 20
Reorganizando tudo num lado dá uma equação quadrática:
4,0,t^2 + 12,0,t + 3,0 - 20 = 0 Longrightarrow 4,t^2 + 12,t -17 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -12 pm raiz12^2 - 4cdot4cdot(-17)2cdot4 = -12 pm raiz144 + 2728 = -12 pm raiz4168
Como t1 = -12 + 20,3968 approx 1,05 s, t2 = -12 - 20,3968 approx -4,05 s , os dois candidatos são
A gente descarta o negativo porque o tempo tem que ser .

Resposta

As partículas têm a mesma velocidade em segundos.

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