( 1,0 ponto) - Uma bola é chutada com velocidade inicial
, formando um ângulo
com o solo, e caindo a 100 m de distância em relação a posição de onde o chute foi dado. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade como
, (a) calcule o valor da velocidade inicial deste movimento. (b) Quanto tempo leva até a bola cair? © Em qual altura (em relação ao solo) o corpo vai estar quanto atingir
do seu alcance? (d) O que aconteceria com o alcance, altura máxima e tempo de duração do movimento se essa bola tivesse massa 10 vezes maior?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola que foi chutada com uma velocidade inicial $ v_0 $, formando um ângulo de $ 5^\circ $ com o solo. A bola cai a 100 metros de distância do ponto onde foi chutada. A gente vai considerar que não tem resistência do ar e que a aceleração da gravidade é $ 9,8 , m/s^2 $. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetado, que envolvem decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, e aplicar as fórmulas de alcance, tempo de voo e altura máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade inicial $ v_0 $. Sabemos que o alcance $ R $ de um projétil é dado pela fórmula:
Aqui, $ \theta = 5^\circ $, $ R = 100 , m $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $. Vamos isolar $ v_0 $:
Calculando $ \sin(2\theta) = \sin(10^\circ) \approx 0,1736 $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para cair, ou seja, o tempo de voo $ T $. A fórmula para o tempo de voo é:
Já achamos $ v_0 \approx 75,15 , m/s $ e $ \theta = 5^\circ $. Calculando $ \sin(5^\circ) \approx 0,0872 $:
Passo 4
Vamos determinar a altura da bola quando ela atinge $ \frac{1}{5} $ do seu alcance, ou seja, a 20 metros do ponto de partida. Primeiro, encontramos o tempo para atingir essa distância horizontal $ x = 20 , m $:
A velocidade horizontal $ v_x = v_0 \cos(\theta) $. Calculando $ \cos(5^\circ) \approx 0,9962 $:
O tempo para percorrer 20 metros:
Agora, a altura $ y $ nesse tempo é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Por fim, vamos analisar o que aconteceria com o alcance, a altura máxima e o tempo de duração do movimento se a massa da bola fosse 10 vezes maior. Nos movimentos projetados sem resistência do ar, a massa do objeto não afeta o alcance, a altura máxima ou o tempo de voo. Isso porque as equações do movimento projetado dependem da velocidade inicial, do ângulo de lançamento e da aceleração da gravidade, mas não da massa do objeto.
Resposta
(a) A velocidade inicial da bola é aproximadamente $ 75,15 , m/s $.
(b) O tempo até a bola cair é cerca de $ 1,34 , segundos $.
© A altura quando a bola atinge $ \frac{1}{5} $ do alcance é aproximadamente $ 1,40 , metros $.
(d) Se a massa da bola fosse 10 vezes maior, o alcance, a altura máxima e o tempo de duração do movimento permaneceriam os mesmos.