O ponto de ebulição do hélio líquido é 4 K e do hidrogênio 20 K .
Qual é a eficiência de uma máquina térmica que opera reversivelmente com dois reservatórios nesta temperatura?

Passo 1

O enunciado pede a eficiência de uma máquina térmica que opera reversivelmente entre dois reservatórios cujas temperaturas são dadas. Dados fornecidos:
T_{\text{He}} = 4\\ \text{K}
T_{\text{H}_2} = 20\\ \text{K}
A pergunta é: qual a eficiência (máxima, por ser reversível) dessa máquina térmica entre esses dois reservatórios?

Passo 2

Vamos entender o que significa eficiência de uma máquina térmica e qual fórmula usar. Eficiência é a fração do calor extraído do reservatório quente que é convertido em trabalho. Se Q_h é o calor recebido do reservatório quente e W é o trabalho realizado, então
\eta = \frac{W}{Q_h}.
Mas como W vem da diferença entre o calor recebido e o calor rejeitado Q_c, temos
W = Q_h - Q_c,
logo
\eta = \frac{Q_h - Q_c}{Q_h} = 1 - \frac{Q_c}{Q_h}.
Agora, para uma máquina reversível (a mais eficiente possível entre duas temperaturas), a troca de calor obedece à conservação da entropia total: a transferência reversível de calor entre os reservatórios implica que a entropia ganha por um = entropia perdida pelo outro, ou seja
\frac{Q_h}{T_h} - \frac{Q_c}{T_c} = 0.
Dessa igualdade segue
\frac{Q_c}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h}.
Substituindo na expressão da eficiência obtemos a fórmula fundamental para eficiência máxima (Carnot):
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Observação importante: as temperaturas devem estar na escala termodinâmica absoluta, ou seja, em kelvin ( \text{K}), e por sorte os valores do enunciado já estão em kelvin.

Passo 3

Identificamos qual é o reservatório quente e qual é o frio com os dados do enunciado. O hidrogênio a 20\\ \text{K} é o reservatório quente ( T_h) e o hélio a 4\\ \text{K} é o reservatório frio ( T_c). Assim:
T_h = 20\\ \text{K},\qquad T_c = 4\\ \text{K}.

Passo 4

Agora substituímos os valores na fórmula da eficiência:
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{4}{20}.
Calculemos a fração:
\frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2.
Portanto
\eta = 1 - 0,2 = 0,8.

Passo 5

Interpretando o resultado: a eficiência máxima possível para uma máquina reversível entre esses dois reservatórios é 0,8, isto é, 80\%. Na prática, motores reais têm eficiência menor por irreversibilidades, mas esse 80\% é o limite superior teórico.

Resposta

\eta = 0,8 = 80\%

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