Dada a função: f(x)=|x-5|.
(a) (1 ponto) Esboce seu gráfico.
(b) ( 0.5 ponto) Resolva a equação |x-5|=3.
(c) ( 0.5 ponto) Encontre o conjunto solução da inequação |x-5|<3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x)=|x-5|\, e pede três coisas:
  • (a) Esboçar o gráfico de f.
  • (b) Resolver a equação |x-5|=3.
  • (c) Determinar o conjunto solução da inequação |x-5|<3.
Informações relevantes: a função envolve valor absoluto centrado em 5; a parte (b) pede os pontos onde a distância de x até 5 é exatamente 3; a parte (c) pede os x cuja distância até 5 é menor que 3.

Passo 2

Vamos entender o que é valor absoluto e como ele funciona, com calma e sem pânico. O valor absoluto |y|\) é a distância de \(y\) até \(0\) na reta real. Logo, \(|y|\ge 0\) para todo \(y\), e \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aplicando isso ao nosso caso, com y=x-5\], temos que \(|x-5| mede a distância entre x e 5. Isso já dá uma boa intuição: |x-5|=3 significa “pontos a distância 3 de 5”; |x-5|<3 significa “pontos a menos de 3 unidades de distância de 5”.]

Passo 3

Escrever |x-5|\) em forma peça a peça (para ajudar no gráfico e nas contas). Pela definição: \[|x-5| = \begin{cases} x-5, & \text{se } x\ge 5,\\[4pt] -(x-5)=5-x, & \text{se } x<5. \end{cases}
Isto significa que f\] é dada por duas retas que se encontram em \(x=5:
  • para x\ge 5: f(x)=x-5 (reta de inclinação +1);
  • para x<5: f(x)=5-x (reta de inclinação -1).]

Passo 4

Esboço do gráfico (explicando passo a passo como desenhar, como se estivesse na prova):
  1. Encontre o vértice (o ponto mínimo). Como |x-5|\ge 0 e quando x=5 temos |5-5|=0, o vértice é (5,0).
  2. Para x\ge 5, use a reta y=x-5. Por exemplo, em x=6 tem-se y=1; em x=8 tem-se y=3. A reta sai do vértice com inclinação +1.
  3. Para x<5, use a reta y=5-x. Por exemplo, em x=4 tem-se y=1; em x=2 tem-se y=3. A reta sai do vértice para a esquerda com inclinação -1.
  4. Unindo essas duas retas obtém-se o clássico “V” com vértice em (5,0), simétrico em torno da vertical x=5.
Se tivesse que desenhar rápido: marque (5,0), suba com slope +1 para a direita e com slope -1 para a esquerda — isso é o esboço.

Passo 5

Resolver a equação |x-5|=3 passo a passo (casos):
Pelo significado de valor absoluto ou por análise em casos, temos duas possibilidades:
x-5=3 \quad\text{ou}\quad x-5=-3.
Resolvendo cada uma:
x-5=3 \implies x=8,
x-5=-3 \implies x=2.
Portanto a equação tem duas soluções: x=2 e x=8. Isso bate com a interpretação “pontos a distância 3 de 5”: 5-3=2 e 5+3=8.

Passo 6

Resolver a inequação |x-5|<3 passo a passo e ensinar um método prático:
Método do intervalo central (mais direto): a desigualdade |x-5|<3 significa que a distância de x até 5 é menor que 3. Isso é equivalente à desigualdade composta
-3 < x-5 < 3.
Agora somamos 5 a todas as partes para isolar x:
-3+5 < x < 3+5 \quad\Longrightarrow\quad 2 < x < 8.
Portanto o conjunto solução é o intervalo aberto (2,8). Em linguagem de desigualdade: x\in(2,8).

Resposta

(a) Gráfico: V com vértice em (5,0); para x<5 tem f(x)=5-x, para x\ge 5 tem f(x)=x-5.
(b) x=2 e x=8.
(c) x\in(2,8).

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