Dada a função:
.
(a) (1 ponto) Esboce seu gráfico.
(b) ( 0.5 ponto) Resolva a equação
.
(c) ( 0.5 ponto) Encontre o conjunto solução da inequação
.
(a) (1 ponto) Esboce seu gráfico.
(b) ( 0.5 ponto) Resolva a equação
(c) ( 0.5 ponto) Encontre o conjunto solução da inequação
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas:
- (a) Esboçar o gráfico de
. - (b) Resolver a equação
. - (c) Determinar o conjunto solução da inequação
.
Informações relevantes: a função envolve valor absoluto centrado em
; a parte (b) pede os pontos onde a distância de
até
é exatamente
; a parte (c) pede os
cuja distância até
é menor que
.
Passo 2
Vamos entender o que é valor absoluto e como ele funciona, com calma e sem pânico. O valor absoluto
Aplicando isso ao nosso caso, com
mede a distância entre
e
. Isso já dá uma boa intuição:
significa “pontos a distância 3 de 5”;
significa “pontos a menos de 3 unidades de distância de 5”.]
Passo 3
Escrever
Isto significa que
:
- para
: (reta de inclinação ); - para
: (reta de inclinação ).]
Passo 4
Esboço do gráfico (explicando passo a passo como desenhar, como se estivesse na prova):
- Encontre o vértice (o ponto mínimo). Como
e quando temos , o vértice é . - Para
, use a reta . Por exemplo, em tem-se ; em tem-se . A reta sai do vértice com inclinação . - Para
, use a reta . Por exemplo, em tem-se ; em tem-se . A reta sai do vértice para a esquerda com inclinação . - Unindo essas duas retas obtém-se o clássico “V” com vértice em
, simétrico em torno da vertical .
Se tivesse que desenhar rápido: marque
, suba com slope
para a direita e com slope
para a esquerda — isso é o esboço.
Passo 5
Resolver a equação
passo a passo (casos):
Pelo significado de valor absoluto ou por análise em casos, temos duas possibilidades:
Pelo significado de valor absoluto ou por análise em casos, temos duas possibilidades:
Resolvendo cada uma:
Portanto a equação tem duas soluções:
e
. Isso bate com a interpretação “pontos a distância
de
”:
e
.
Passo 6
Resolver a inequação
passo a passo e ensinar um método prático:
Método do intervalo central (mais direto): a desigualdade significa que a distância de
até
é menor que
. Isso é equivalente à desigualdade composta
Método do intervalo central (mais direto): a desigualdade
Agora somamos
a todas as partes para isolar
:
Portanto o conjunto solução é o intervalo aberto
. Em linguagem de desigualdade:
.
Resposta
(a) Gráfico: V com vértice em
; para
tem
, para
tem
.
(b) e
.
(c) .
(b)
(c)