( 2 pontos): A água de um reservatório evapora-se à taxa de 50 \% ao mês.
(a) Em quanto tempo ela se reduzirá à quarta parte do que era no início?
(b) Em quanto tempo aproximadamente ela se reduzirá à décima parte do que era no início? Observação: \log 2 vale aproximadamente 0,3 .

Passo 1

O enunciado dá a informação e faz estas perguntas:
  • Informação dada: a água evapora-se à taxa de 50\% ao mês (ou seja, a cada mês resta metade do que havia no início do mês).
  • Pergunta (a): Em quanto tempo a quantidade se reduzirá a \tfrac{1}{4} do que era no início?
  • Pergunta (b): Em quanto tempo aproximadamente a quantidade se reduzirá a \tfrac{1}{10} do que era no início?
    Observação útil fornecida: \log 2 \approx 0,3.

Passo 2

Modelagem do problema (explicando a fórmula):
  • Seja A_0 a quantidade inicial de água e A(t) a quantidade após t meses.
  • Como a cada mês fica metade, a redução é exponencial com base \tfrac{1}{2}. Então o modelo é
A(t)=A_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t},
onde t está em meses. Aqui A_0 é o valor inicial (qualquer unidade), t é o tempo em meses, e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t} representa quantas vezes a fração inicial permanece depois de t meses.
  • Para encontrar o tempo em que a quantidade atinge uma fração f de A_0, resolvemos \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t}=f e isolamos t.

Passo 3

Resolvendo a parte (a):
  • Queremos A(t)=\tfrac{1}{4}A_0. Substituindo no modelo:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t}=\tfrac{1}{4}.
  • Observação simples: \tfrac{1}{4}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}. Portanto os expoentes coincidem:
t=2.
  • Interpretação: são necessárias duas “meias-vidas” (duas reduções à metade), ou seja, 2 meses.

Passo 4

Resolvendo a parte (b) com logaritmos (explicando o uso de logaritmos):
  • Queremos A(t)=\tfrac{1}{10}A_0. Então
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t}=\tfrac{1}{10}.
  • Aplicando logaritmo (qualquer base serve; aqui usamos log base 10 porque foi dada \log 2): usando a propriedade \log(a^{b})=b\log a, obtemos
t\log\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\log\!\left(\tfrac{1}{10}\right).
  • Isolando t:
t=\dfrac{\log\!\left(\tfrac{1}{10}\right)}{\log\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.
  • Simplificando usando \log\!\left(\tfrac{1}{10}\right)=-\log 10=-1 e \log\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\log 2, temos
t=\dfrac{-1}{-\log 2}=\dfrac{1}{\log 2}.
(Isto também é a aplicação da mudança de base: t=\dfrac{\log_{10}10}{\log_{10}2}=\dfrac{1}{\log 2}.)

Passo 5

Cálculo numérico aproximado e conversão para meses/dias:
  • Usando a aproximação dada \log 2\approx 0,3,
t\approx \dfrac{1}{0,3}\approx 3{,}333\\ \text{meses}.
  • Para transformar a parte fracionária em dias, supondo um mês de aproximadamente 30 dias:
0{,}333\\ \text{mês}\approx 0{,}333\times 30\\ \text{dias}\approx 10\\ \text{dias}.ê
  • Portanto o tempo é aproximadamente 3 meses e 10 dias (ou 3{,}33 meses).

Passo 6

Resumo final curto e motivação:
  • (a) deu um número inteiro simples porque \tfrac{1}{4} é \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
  • (b) exigiu logaritmos; a ideia chave para a prova é lembrar que para resolver a^{t}=b isolamos t por t=\dfrac{\log b}{\log a} e usar a aproximação fornecida de \log 2 quando pedem valor aproximado. Força aí — você já entendeu o passo a passo!

Resposta

(a) \;2\\ \text{meses}
(b) \;\approx 3{,}33\\ \text{meses} (aproximadamente 3 meses e 10 dias)

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