( 2 pontos): A água de um reservatório evapora-se à taxa de
ao mês.
(a) Em quanto tempo ela se reduzirá à quarta parte do que era no início?
(b) Em quanto tempo aproximadamente ela se reduzirá à décima parte do que era no início? Observação:
vale aproximadamente 0,3 .
(a) Em quanto tempo ela se reduzirá à quarta parte do que era no início?
(b) Em quanto tempo aproximadamente ela se reduzirá à décima parte do que era no início? Observação:
Passo 1
O enunciado dá a informação e faz estas perguntas:
- Informação dada: a água evapora-se à taxa de
ao mês (ou seja, a cada mês resta metade do que havia no início do mês). - Pergunta (a): Em quanto tempo a quantidade se reduzirá a
do que era no início? - Pergunta (b): Em quanto tempo aproximadamente a quantidade se reduzirá a
do que era no início?
Observação útil fornecida:.
Passo 2
Modelagem do problema (explicando a fórmula):
- Seja
a quantidade inicial de água e a quantidade após meses. - Como a cada mês fica metade, a redução é exponencial com base
. Então o modelo é
onde
está em meses. Aqui
é o valor inicial (qualquer unidade),
é o tempo em meses, e
representa quantas vezes a fração inicial permanece depois de
meses.
- Para encontrar o tempo em que a quantidade atinge uma fração
de , resolvemos e isolamos .
Passo 3
Resolvendo a parte (a):
- Queremos
. Substituindo no modelo:
- Observação simples:
. Portanto os expoentes coincidem:
- Interpretação: são necessárias duas “meias-vidas” (duas reduções à metade), ou seja, 2 meses.
Passo 4
Resolvendo a parte (b) com logaritmos (explicando o uso de logaritmos):
- Queremos
. Então
- Aplicando logaritmo (qualquer base serve; aqui usamos log base 10 porque foi dada
): usando a propriedade , obtemos
- Isolando
:
- Simplificando usando
e , temos
(Isto também é a aplicação da mudança de base:
.)
Passo 5
Cálculo numérico aproximado e conversão para meses/dias:
- Usando a aproximação dada
,
- Para transformar a parte fracionária em dias, supondo um mês de aproximadamente
dias:
- Portanto o tempo é aproximadamente
meses e dias (ou meses).
Passo 6
Resumo final curto e motivação:
- (a) deu um número inteiro simples porque
é . - (b) exigiu logaritmos; a ideia chave para a prova é lembrar que para resolver
isolamos por e usar a aproximação fornecida de quando pedem valor aproximado. Força aí — você já entendeu o passo a passo!
Resposta
(a)
(b) (aproximadamente
meses e
dias)
(b)