(1 ponto) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n^{2}+1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A série é \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{n^{2}+1}.
  • O centro da série é 2 (porque aparece (x-2)^{n}).
  • O enunciado pede:
    1. o raio de convergência;
    2. o intervalo de convergência (no conjunto dos reais).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Os coeficientes da série (em frente a (x-2)^n) são a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}+1} para n\ge0.

Passo 2

Vou explicar a ferramenta que vou usar para achar o raio. Para uma série de potências centrada em c,
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n,
um modo direto de obter o raio de convergência R é usar a fórmula
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui:
  • a_n é o n-ésimo coeficiente da série;
  • \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do valor absoluto de a_n;
  • \limsup é o limite superior quando n\to\infty (quando o limite comum existe, \limsup é esse limite).
    Explicação rápida do porquê: essa fórmula vem do teste da raiz aplicado à série \sum a_n (x-c)^n. Se \limsup_{n} \sqrt[n]{|a_n(x-c)^n|}=L, a série converge se L<1 e diverge se L>1; escrevendo L=|x-c|\limsup_{n}\sqrt[n]{|a_n|} obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} para a_n=\dfrac{1}{n^{2}+1}.
Primeiro escrevo
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{n^{2}+1}}.
Agora avalio \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{2}+1}. Uma forma simples de ver que esse limite vale 1 é tomar logaritmo:
\ln\!\big(\sqrt[n]{n^{2}+1}\big)=\frac{1}{n}\ln(n^{2}+1).
Como \ln(n^{2}+1)\sim 2\ln n e \dfrac{2\ln n}{n}\to0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln(n^{2}+1)=0,
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\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{2}+1}=e^{0}=1.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt[n]{n^{2}+1}}=\dfrac{1}{1}=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo 2:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{1}=1.
Isto significa que a série converge, pelo menos, para todos x tais que |x-2|<1, ou seja no intervalo aberto (1,3). Agora precisamos examinar os dois extremos x=1 e x=3.

Passo 5

Testo o ponto x=3. Substituindo x=3 na série obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3-2)^{n}}{n^{2}+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}.
Para n\ge1 vale n^{2}+1\ge n^{2}, então
\frac{1}{n^{2}+1}\le\frac{1}{n^{2}}.
Como a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma série p- com p=2>1 (logo convergente), pela comparação a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1} converge. Somando também o termo n=0 (que é finito: \tfrac{1}{0^{2}+1}=1), concluímos que a série converge em x=3. Na verdade ela converge absolutamente em x=3.

Passo 6

Testo o ponto x=1. Substituindo x=1 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-2)^{n}}{n^{2}+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}.
Novamente os termos absolutos são \dfrac{1}{n^{2}+1} cujo somatório, pela comparação do passo anterior, converge. Assim a série converge absolutamente em x=1 (portanto converge também em x=1).

Passo 7

Conclusão: a série converge para todos x com |x-2|<1 e também converge nos dois extremos |x-2|=1. Ou seja, o intervalo de convergência real é o intervalo fechado
[1,3].

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [1,3]

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