(1 ponto) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A série é
. - O centro da série é
(porque aparece ). - O enunciado pede:
- o raio de convergência;
- o intervalo de convergência (no conjunto dos reais).
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Os coeficientes da série (em frente a
) são para .
Passo 2
Vou explicar a ferramenta que vou usar para achar o raio. Para uma série de potências centrada em
,
um modo direto de obter o raio de convergência
é usar a fórmula
Aqui:
-
é o -ésimo coeficiente da série; -
é a raiz -ésima do valor absoluto de ; -
é o limite superior quando (quando o limite comum existe, é esse limite).
Explicação rápida do porquê: essa fórmula vem do teste da raiz aplicado à série. Se , a série converge se e diverge se ; escrevendo obtém-se a fórmula acima.
Passo 3
Calcular
para
.
Primeiro escrevo
Agora avalio
. Uma forma simples de ver que esse limite vale
é tomar logaritmo:
Como
e
quando
, segue que
logo
Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo 2:
Isto significa que a série converge, pelo menos, para todos
tais que
, ou seja no intervalo aberto
. Agora precisamos examinar os dois extremos
e
.
Passo 5
Testo o ponto
. Substituindo
na série obtemos
Para
vale
, então
Como a série
é uma série
- com
(logo convergente), pela comparação a série
converge. Somando também o termo
(que é finito:
), concluímos que a série converge em
. Na verdade ela converge absolutamente em
.
Passo 6
Testo o ponto
. Substituindo
obtemos
Novamente os termos absolutos são
cujo somatório, pela comparação do passo anterior, converge. Assim a série converge absolutamente em
(portanto converge também em
).
Passo 7
Conclusão: a série converge para todos
com
e também converge nos dois extremos
. Ou seja, o intervalo de convergência real é o intervalo fechado
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: