(2 ponto) Encontre a solução geral implícita da equação diferencial linear homogêna de segunda ordem dada a seguir. Utilize o método de redução de ordem. Considere
uma solução.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
sabendo que
é uma solução conhecida. Vamos aplicar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução e, assim, a solução geral.
Passo 2
No método de redução de ordem, propomos
Dessa forma,
Passo 3
Substituindo essas expressões em
obtemos
Passo 4
Definimos
. Então
e a equação vira
que é uma equação de primeira ordem, homogênea.
Passo 5
Resolvendo por separação de variáveis:
Integrando,
Passo 6
Voltando a
, integramos
Passo 7
Como
, temos
Renomeando as constantes de integração (
e
), a forma mais habitual da solução geral é: