(2 ponto) Encontre a solução geral implícita da equação diferencial linear homogêna de segunda ordem dada a seguir. Utilize o método de redução de ordem. Considere uma solução.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + 5y' = 0
sabendo que y1(x)=1 é uma solução conhecida. Vamos aplicar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução e, assim, a solução geral.

Passo 2

No método de redução de ordem, propomos
y(x) = u(x),y1(x) = u(x)cdot1 = u(x)
Dessa forma,
y' = u', y'' = u''

Passo 3

Substituindo essas expressões em
y'' + 5y' = 0
obtemos
u'' + 5u' = 0

Passo 4

Definimos v(x) = u'(x). Então u'' = v' e a equação vira
v' + 5v = 0,
que é uma equação de primeira ordem, homogênea.

Passo 5

Resolvendo por separação de variáveis:
dvv = -5,dx
Integrando,
ln|v| = -5x + C1 Longrightarrow v = C2,e^-5x

Passo 6

Voltando a u'(x)=v(x), integramos
u'(x) = C2e^-5x Longrightarrow u(x) = integral C2e^-5x,dx = -C25e^-5x + C3

Passo 7

Como y(x)=u(x), temos
y(x) = C3 - C25e^-5x
Renomeando as constantes de integração ( C3to C1 e -C2/5to C2), a forma mais habitual da solução geral é:

Resposta

y(x) = C1 + C2,e^-5x

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