(1 ponto) Resolva o problema de valor inicial:
l t y^prime+2 y=4 t^2 y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
t,y'(t)+2,y(t)=4t^2, y(1)=2,
que é uma equação diferencial de primeira ordem, linear em y. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro dividimos ambos os lados por t (supondo tneq0) para escrever a equação na forma padrão
y'(t)+2t,y(t)=4t

Passo 3

O fator integrante mu(t) satisfaz
mu(t)=expl(integral 2t,dtr) =expl(2ln|t|r)=t^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^2 obtemos
t^2y'(t)+2t,y(t)=4t^3,
e o lado esquerdo é a derivada de t^2y(t). Logo
ddtl(t^2y(t)r)=4t^3
Integrando em t,
t^2y(t)=integral 4t^3,dt =t^4+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y(t),
y(t)=t^2+Ct^2
Para determinar C, usamos a condição inicial y(1)=2:
2 = 1^2 + C1^2 Rightarrow C=1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t)=t^2+1t^2

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