(1 ponto) Resolva a equação diferencial a seguir sujeita à condição inicial dada:
l x y d x-3(y-2) d y=0 y(0)=1, y>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x,y,dx ;-; 3(y-2),dy ;=;0
com condição inicial y(0)=1 e y>0. Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevemos em forma de derivada e separamos x e y:
x,y,dx = 3(y-2),dy
y-2y,dy = 13,x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo notamos y-2y=1-2y, então
integrall(1 - 2yr),dy = integral13x,dx
Isso dá
y - 2ln y = 16x^2 + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1:
1 - 2ln1 = 16cdot0^2 + C ;Longrightarrow; 1 - 0 = C ;Longrightarrow; C = 1
Logo a relação implícita fica
y - 2ln y = 16x^2 + 1

Passo 5

Multiplicando por 6 e isolando x^2, obtemos a solução implícita final:
6y - 12ln y = x^2 + 6 ;Longrightarrow; x^2 = 6y - 12ln y - 6

Resposta

boxedx^2 = 6y ;-;12ln y ;-;6, y>0

Exercícios relacionados