Usando o método das transformadas de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais
y'' - 2y' + 5y = 0, y(0)=2,;y'(0)=4
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
Ly'=sY(s)-y(0)
e da transformada de y, que é Y(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação:
Ly''-2,Ly'+5,Ly=0
Substituindo as expressões:
l(s^2Y(s)-scdot2-4r)-2l(sY(s)-2r)+5Y(s)=0

Passo 3

Agrupando Y(s) e os termos constantes:
s^2Y(s)-2sY(s)+5Y(s);-;2s-4+4=0 Longrightarrow (s^2-2s+5)Y(s)-2s=0
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Y(s)=2ss^2-2s+5

Passo 4

Para inverter Y(s), completamos o quadrado no denominador:
s^2-2s+5=(s-1)^2+2^2,
e escrevemos o numerador como
2s=2(s-1)+2
Então
Y(s) =2(s-1)(s-1)^2+2^2 +2(s-1)^2+2^2
Sabendo que
L^-1!ls-a(s-a)^2+b^2r =e^atcos(bt), L^-1!lb(s-a)^2+b^2r =e^atsin(bt),
com a=1 e b=2, temos as duas partes invertidas.

Passo 5

Aplicando a inversa em cada parcela, obtemos
y(t)=2,e^tcos(2t)+e^tsin(2t)

Resposta

y(t)=e^tl(2cos(2t)+sin(2t)r)

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