Determine a família de primitivas para cada função: integral raiz[3]ln (x)x d x

Passo 1

A questão pede para encontrar a família de primitivas da função f(x)=raiz[3]ln(x)x. O tema é integração por substituição, pois percebemos uma composição envolvendo ln(x) e sua derivada aparece fora.

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos a substituição t=ln(x). Assim, a diferencial é dt=1x,dx. Aplicando a substituição, a integral original
integral raiz[3]ln(x)x,dx = integral t^1/3,dt
Agora basta integrar uma potência de t:
integral t^1/3,dt = t^(1/3)+1(1/3)+1 + C = t^4/34/3 + C = 34,t^4/3 + C
Por fim, voltamos à variável original, lembrando que t=ln(x).

Resposta

A família de primitivas é
F(x)=34l(ln(x)r)^4/3+C

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