(1 ponto) Encontre os valores de e que tornam contínua nos reais, sendo .
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de a e b que tornam a função por partes
f(x)= a x - b,&x<=-1, 2x^2 + 3a x + b,&-11
contínua para todo x real. O conteúdo é continuidade de função definida por partes e vamos usar que, em cada ponto de troca de regra (x=–1 e x=1), os limites laterais devem coincidir com o valor da função.
Passo 2
Para garantir continuidade em x = –1, igualamos o limite pela esquerda f(–1^–)=a(–1)–b=–a–b ao limite pela direita f(–1+)=2(–1)2+3a(–1)+b=2–3a+b. Assim, temos
-a - b = 2 - 3a + b
que, ao reorganizar,
2a - 2b = 2
logo
a - b = 1
.
Passo 3
Para garantir continuidade em x = 1, igualamos o limite pela esquerda f(1–)=2·12+3a·1+b=2+3a+b ao valor pela direita f(1^+)=4. Assim,
2 + 3a + b = 4
que dá
3a + b = 2
.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema de duas equações:
a - b = 1, 3a + b = 2
Somando as duas equações, obtemos 4a = 3, logo
a = tfrac34
Substituindo em 3a + b = 2, vem
b = 2 - 3l(tfrac34r) = 2 - tfrac94 = -tfrac14
Passo 5
Portanto, para que f seja contínua em todo R, devemos ter a = 3/4 e b = -1/4.