Calcule oint F cdot d r, onde F(x, y)=(yx+x, ln x+e^y) é definido em U=(x, y) in R^2 ; x>0 e C é a ciclóide parametrizada por r(t)=(t-sen t, 1-cos t), com t in[pi, 2 pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC Fcdot dr, onde F(x,y)=l(yx+x,,ln x+e^yr) está definido em U=(x,y)inR^2: x>0 e C é a ciclóide dada por r(t)=(t-sin t,,1-cos t), com tin[pi,2pi]. O conteúdo envolve integrais de linha de campos vetoriais e veremos se o campo é conservativo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de P(x,y)=y/x+x e Q(x,y)=ln x+e^y:
partial Ppartial y=1x,
partial Qpartial x=1xComo ambas coincidem, o campo é exato.

Passo 3

Observamos que o domínio U=x>0 é aberto e simplesmente conexo. Logo, F é um campo conservativo em U e admite potencial.

Passo 4

Para qualquer campo conservativo, a integral de linha sobre curva fechada é zero. Portanto, —

Resposta

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