Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
B=(x, y) in R^2 / 0<x^2+y^2 <= 4;

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar o conjunto
B = (x,y)inR^2 mid 0 < x^2+y^2 <= 4
em termos de ser aberto, fechado, limitado e compacto. Para isso usamos as definições:
– um conjunto é aberto se todo ponto tem uma vizinhança totalmente contida nele;
– é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação;
– é limitado se existe R<infty tal que B subseteq(x,y)mid |(x,y)|<= R;
– em R^n, o Teorema de Heine–Borel diz que um conjunto é compacto se e somente se for fechado e limitado.

Passo 2

Verificando abertura: seja (x0,y0)in B. Se 0< x0^2+y0^2<4, há sempre um raio varepsilon>0 pequeno tal que o disco
(x,y)mid |(x,y)-(x0,y0)|<varepsilon
fica inteiramente dentro de B. Porém, se x0^2+y0^2=4 (pontos do círculo de raio 2), qualquer disco centrado em (x0,y0) contém pontos com x^2+y^2>4, que não pertencem a B. Logo nem todos os pontos de B são interiores, de modo que B não é aberto.

Passo 3

Verificando fechamento: um ponto de acumulação de B é, por exemplo, a origem (0,0), pois podemos tomar a sequência l(tfrac1n,0r)in B que converge para (0,0). Como (0,0)notin B, B não contém todos os seus pontos de acumulação e, portanto, não é fechado.

Passo 4

Verificando se é limitado: para todo (x,y)in B temos x^2+y^2<=4, ou seja,
|(x,y)| = raizx^2+y^2 <= 2
Logo B está contido na bola de raio 2 centrada na origem e portanto é limitado.

Passo 5

Verificando compacidade: pelo Teorema de Heine–Borel em R^2, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Como B é limitado mas não é fechado, concluímos que B não é compacto.

Resposta

B não é aberto;
B não é fechado;
B é limitado;
B não é compacto.

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