Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
;
Passo 1
O enunciado nos pede para classificar o conjunto
em termos de ser aberto, fechado, limitado e compacto. Para isso usamos as definições:
– um conjunto é aberto se todo ponto tem uma vizinhança totalmente contida nele;
– é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação;
– é limitado se existe tal que
;
– em , o Teorema de Heine–Borel diz que um conjunto é compacto se e somente se for fechado e limitado.
– um conjunto é aberto se todo ponto tem uma vizinhança totalmente contida nele;
– é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação;
– é limitado se existe
– em
Passo 2
Verificando abertura: seja
. Se
, há sempre um raio
pequeno tal que o disco
fica inteiramente dentro de . Porém, se
(pontos do círculo de raio 2), qualquer disco centrado em
contém pontos com
, que não pertencem a
. Logo nem todos os pontos de
são interiores, de modo que
não é aberto.
fica inteiramente dentro de
Passo 3
Verificando fechamento: um ponto de acumulação de
é, por exemplo, a origem
, pois podemos tomar a sequência
que converge para
. Como
,
não contém todos os seus pontos de acumulação e, portanto, não é fechado.
Passo 4
Verificando se é limitado: para todo
temos
, ou seja,
Logo
está contido na bola de raio
centrada na origem e portanto é limitado.
Passo 5
Verificando compacidade: pelo Teorema de Heine–Borel em
, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Como
é limitado mas não é fechado, concluímos que
não é compacto.