Neste problema vamos determinar condições sobre
p e
q de modo que a Eq. (32) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes mediante uma mudança da variável independente. Seja
x=u(t) a nova variável independente, com a relação entre
x e
t a ser especificada mais tarde.
a. Mostre que
d yd t=d xd t d yd x, d^2 yd t^2=(d xd t)^2 d^2 yd x^2+d^2 xd t^2 d yd x
b. Mostre que a equação diferencial (32) se torna
(d xd t)^2 d^2 yd x^2+(d^2 xd t^2+p(t) d xd t) d yd x+q(t) y=0
c. Para que a Eq. (35) tenha coeficientes constantes, é preciso que os coeficientes de
d^2 y / d x^2, d y / d x e de
y sejam todos proporcionais. Se
q(t)>0 , então podemos escolher a constante de proporcionalidade como um; logo, depois de integrar em relação a
t ,
x=u(t)=integral(q(t))^1 / 2 d t
d. Com
x escolhido como no item (c), mostre que o coeficiente de
d y / d x na Eq. (35) também é constante, desde que a expressão
q^prime(t)+2 p(t) q(t)2(q(t))^3 / 2
seja constante. Assim, a Eq. (32) pode ser transformada em uma equação com coeficientes constantes a partir de uma mudança da variável independente, desde que a função
(q^prime+2 p q) / q^3 / 2 seja constante.
e. Como a análise e o resultado em (d) será modificado se
q(t)<0 ?