Um ponto x0 é escolhido aleatoriamente no intervalo real [0,1]. A sombra gerada por esse ponto é o intervalo de amplitude x02 centrado em x0. Determine a probabilidade de sortear, ao acaso, um outro ponto em [0,1] fora dessa sombra.

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos um ponto ,x0 uniformemente em [0,1]. A “sombra” desse ponto é um intervalo centrado em x0 de comprimento tfracx02. Precisamos achar a probabilidade de que um segundo ponto, também uniforme em [0,1], caia fora dessa sombra. Vamos condicionar em x0 e depois fazer a média em x0.

Passo 2

Dado x0, o intervalo sombra tem extremidades
L = x0 - x04 = 34x0, R = x0 + x04 = 54x0
Se esse intervalo estiver inteiro dentro de [0,1], seu comprimento é tfracx02. Se ultrapassar a 1, a parte efetiva da sombra em [0,1] é [L,1].

Passo 3

Caso x0<= tfrac45, temos R = tfrac54x0<=1, logo a sombra cabe inteira em [0,1] com comprimento tfracx02. A probabilidade condicional de o segundo ponto ficar fora é
1 - x02

Passo 4

Caso x0>tfrac45, então R>1 e a sombra em [0,1] vai de L=tfrac34x0 até 1, tendo comprimento
1 - 34x0
Logo a probabilidade condicional de ficar fora é
1 - l(1 - 34x0r) = 34x0

Passo 5

Agora tiramos a esperança em x0, integrando de 0 a 1 e dividindo por 1 (já que x0 é uniforme). Fazemos em duas partes:
Para 0<= x0<= tfrac45:
integral0^4/5l(1 - x02r),dx0 = l[x0 - x0^24r]0^4/5 = 1625
Para tfrac45<x0<=1:
integral4/5^134x0,dx0 = 34,l[x0^22r]4/5^1 = 27200
Somando,
1625 + 27200 = 155200 = 3140

Resposta

A probabilidade procurada é 3140.

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