Um ponto
é escolhido aleatoriamente no intervalo real
. A sombra gerada por esse ponto é o intervalo de amplitude
centrado em
. Determine a probabilidade de sortear, ao acaso, um outro ponto em
fora dessa sombra.
Passo 1
O enunciado diz que escolhemos um ponto
uniformemente em
. A “sombra” desse ponto é um intervalo centrado em
de comprimento
. Precisamos achar a probabilidade de que um segundo ponto, também uniforme em
, caia fora dessa sombra. Vamos condicionar em
e depois fazer a média em
.
Passo 2
Dado
, o intervalo sombra tem extremidades
Se esse intervalo estiver inteiro dentro de
, seu comprimento é
. Se ultrapassar a 1, a parte efetiva da sombra em
é
.
Passo 3
Caso
, temos
, logo a sombra cabe inteira em
com comprimento
. A probabilidade condicional de o segundo ponto ficar fora é
Passo 4
Caso
, então
e a sombra em
vai de
até 1, tendo comprimento
Logo a probabilidade condicional de ficar fora é
Passo 5
Agora tiramos a esperança em
, integrando de 0 a 1 e dividindo por 1 (já que
é uniforme). Fazemos em duas partes:
Para
:
Para
:
Somando,
Resposta
A probabilidade procurada é
.