Uma moeda honesta é jogada n vezes. Calcular a probabilidade de se obter exatamente k caras, 0 <= k <= n.
Sejam A e B eventos de um espaço de probabilidade (Omega, F, P) tais que
P(A)=12, P(B)=14 e P(A cap B)=15
(a) P(A cup B);
(e) P(A^c cap B);
(b) P(A^c);
(f) P(A^c cap B^c);
(c) P(B^c);
(g) P(A^c cup B^c).
(d) P(A cap B^c);

Passo 1

O exercício tem duas partes. Na primeira parte, jogamos uma moeda honesta n vezes e queremos a probabilidade de sair exatamente k caras. Isso é um caso clássico de distribuição binomial com parâmetro de sucesso p=tfrac12.
Na segunda parte, temos dois eventos A e B com
P(A)=tfrac12, P(B)=tfrac14, P(Acap B)=tfrac15,
e pedem várias probabilidades derivadas, usando as fórmulas de união, interseção e complementares.

Passo 2

Para a probabilidade de exatamente k caras em n jogadas, usamos que cada sequência com k caras e n-k coroas tem probabilidade
l(tfrac12r)^kl(tfrac12r)^,n-k=l(tfrac12r)^n
e há binomnk sequências assim. Logo
P(exatamente k caras) =binomnkl(tfrac12r)^n

Passo 3

Calculamos primeiro os complementares básicos:
P(A^c)=1-P(A)=1-tfrac12=tfrac12, P(B^c)=1-P(B)=1-tfrac14=tfrac34

Passo 4

Usamos a fórmula da união para
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B) =tfrac12+tfrac14-tfrac15 =10+5-420 =1120

Passo 5

Para as interseções mistas usamos
P(Acap B^c)=P(A)-P(Acap B) =tfrac12-tfrac15 =5-210 =310,
P(A^ccap B)=P(B)-P(Acap B) =tfrac14-tfrac15 =5-420 =120

Passo 6

Os demais podem sair por complementação global ou De Morgan:
P(A^ccap B^c)=1-P(Acup B) =1-tfrac1120 =tfrac920,
P(A^ccup B^c)=1-P(Acap B) =1-tfrac15 =tfrac45

Resposta

Probabilidade de exatamente k caras em n jogadas:
boxedP(exatamente k caras) =binomnkl(tfrac12r)^n
Probabilidades dos itens:
(a) P(Acup B)=tfrac1120
(b) P(A^c)=tfrac12
(c) P(B^c)=tfrac34
(d) P(Acap B^c)=tfrac310
(e) P(A^ccap B)=tfrac120
(f) P(A^ccap B^c)=tfrac920
(g) P(A^ccup B^c)=tfrac45

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