Um ponto (a, b) in R^2 é escolhido aleatoriamente no quadrado definido por -1 <= x <= 1 e -1 <= y <= 1. Considerando a equação a x+b=0, determine a probabilidade de sua solução ser positiva.

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos (a,b) uniformemente em
-1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1
e analisamos a equação
a x + b = 0
O que nos interessa é a probabilidade de sua solução
x = -ba
ser positiva. O conteúdo envolvido é probabilidade geométrica em R^2.

Passo 2

Excetuando o caso a=0 (que tem medida zero no quadrado e, portanto, não altera a probabilidade), a solução existe e é
x = -ba
Queremos
x>0 Long<=ftrightarrow -ba>0

Passo 3

A desigualdade
-ba>0
é equivalente a
ba<0,
ou seja, b e a têm sinais opostos.

Passo 4

No quadrado [-1,1]times[-1,1] a área total é
áreatotal=2times 2=4 á
As regiões em que a>0 e b<0 formam um retângulo de área 1, e o mesmo vale para a<0 e b>0. Logo a área favorável é
1 + 1 = 2

Passo 5

A probabilidade pedida é a razão entre área favorável e área total:
P = 24 = 12

Resposta

A probabilidade de a solução ser positiva é 12.

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