Uma oficina mecânica registrou a idade (em anos) de 7 carros e o custo anual de manutenção (em R$):
| Idade do carro ((x)) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Custo manutenção ((y)) | 300 | 350 | 450 | 600 | 700 | 800 | 950 |
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
Determine a equação da reta de regressão linear.
Estime o custo de manutenção para um carro com 8 anos.
Determine a equação da reta de regressão linear.
Estime o custo de manutenção para um carro com 8 anos.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com as idades
e os custos de manutenção
para 7 carros e pede três coisas: o coeficiente de correlação de Pearson, a equação da reta de regressão linear e a estimativa do custo para
.
Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
Passo 2
Vou começar calculando as médias
e
, pois elas são usadas em todas as fórmulas.
Explicando a ideia: a média é o “centro” dos dados; ao subtrair as médias dos valores de
e
obtemos as variações que medem como cada ponto se afasta do centro.
Passo 3
Agora calculo as somas de quadrados e de produtos centrados que aparecem nas fórmulas:
definições (explicando cada símbolo):
definições (explicando cada símbolo):
-
mede a variabilidade de . -
mede a variabilidade de . -
mede a covariância (se e variam juntos).
Como
é simétrico em torno de
, calculo
rapidamente:
Para
pode-se usar a definição direta. Usei
e calculei cada
; somando obtém-se
Observação prática: é comum facilitar as contas organizando uma tabela com
,
e seu produto; aqui o somatório deu
(calculei somando
).
Para
uso a relação mais prática
. Primeiro:
Passo 4
Com
e
encontramos a inclinação
da reta e, em seguida, a ordenada na origem
. Fórmulas:
Substituindo:
Interpretação:
diz quanto, em média, o custo aumenta quando a idade do carro aumenta 1 ano (aqui aproximadamente
R$por ano).
é o valor estimado quando
(aqui
R$), é a interceptação da reta.
Passo 5
A reta de regressão (estimativa de
em função de
) é portanto
Passo 6
Agora o coeficiente de correlação de Pearson
. Fórmula e interpretação:
Substituindo os valores que já calculei:
Podemos simplificar
, então
Interpretação prática:
próximo de
indica uma correlação linear positiva muito forte entre idade do carro e custo de manutenção.
Passo 7
Estimativa do custo para
: usar a reta de regressão
Ou seja, estima-se cerca de
R$ para um carro de 8 anos.