Uma oficina mecânica registrou a idade (em anos) de 7 carros e o custo anual de manutenção (em R$):
Idade do carro ((x)) 1 2 3 4 5 6 7
Custo manutenção ((y)) 300 350 450 600 700 800 950
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
Determine a equação da reta de regressão linear.
Estime o custo de manutenção para um carro com 8 anos.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com as idades x e os custos de manutenção y para 7 carros e pede três coisas: o coeficiente de correlação de Pearson, a equação da reta de regressão linear e a estimativa do custo para x=8.
Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\hline y & 300 & 350 & 450 & 600 & 700 & 800 & 950 \end{array}

Passo 2

Vou começar calculando as médias \bar{x} e \bar{y}, pois elas são usadas em todas as fórmulas.
\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=\frac{28}{7}=4.
\bar{y}=\frac{300+350+450+600+700+800+950}{7}=\frac{4150}{7}\approx592,8571429.
Explicando a ideia: a média é o “centro” dos dados; ao subtrair as médias dos valores de x e y obtemos as variações que medem como cada ponto se afasta do centro.

Passo 3

Agora calculo as somas de quadrados e de produtos centrados que aparecem nas fórmulas:
definições (explicando cada símbolo):
  • S_{xx}=\sum_{i}(x_i-\bar{x})^{2} mede a variabilidade de x.
  • S_{yy}=\sum_{i}(y_i-\bar{y})^{2} mede a variabilidade de y.
  • S_{xy}=\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) mede a covariância (se x e y variam juntos).
Como x é simétrico em torno de 4, calculo S_{xx} rapidamente:
S_{xx}=\sum_{k=-3}^{3}k^{2}=9+4+1+0+1+4+9=28.
Para S_{xy} pode-se usar a definição direta. Usei \bar{y}=\dfrac{4150}{7} e calculei cada (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}); somando obtém-se
S_{xy}=3100.
Observação prática: é comum facilitar as contas organizando uma tabela com x_i-\bar{x}, y_i-\bar{y} e seu produto; aqui o somatório deu 3100 (calculei somando 878,571+485,714+142,857+0+107,143+414,286+1071,429).
Para S_{yy} uso a relação mais prática S_{yy}=\sum y_i^{2}-n\bar{y}^{2}. Primeiro:
\sum y_i^{2}=300^{2}+350^{2}+450^{2}+600^{2}+700^{2}+800^{2}+950^{2}=2\,807\,500.
n\bar{y}^{2}=7\left(\frac{4150}{7}\right)^{2}=7\cdot\frac{17\,222\,500}{49}=\frac{120\,557\,500}{49}=2\,460\,357{,}142857\ldots
S_{yy}=2\,807\,500-2\,460\,357{,}142857\ldots=347\,142{,}857142\ldots

Passo 4

Com S_{xx} e S_{xy} encontramos a inclinação b_{1} da reta e, em seguida, a ordenada na origem b_{0}. Fórmulas:
b_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_{0}=\bar{y}-b_{1}\bar{x}.
Substituindo:
b_{1}=\frac{3100}{28}=\frac{775}{7}\approx110{,}7142857.
b_{0}=\frac{4150}{7}-\frac{775}{7}\cdot4=\frac{4150}{7}-\frac{3100}{7}=\frac{1050}{7}=150.
Interpretação: b_{1} diz quanto, em média, o custo aumenta quando a idade do carro aumenta 1 ano (aqui aproximadamente 110{,}71 R$por ano). b_{0} é o valor estimado quando x=0 (aqui 150 R$), é a interceptação da reta.

Passo 5

A reta de regressão (estimativa de y em função de x) é portanto
\hat{y}=b_{0}+b_{1}x=150+\frac{775}{7}x.

Passo 6

Agora o coeficiente de correlação de Pearson r. Fórmula e interpretação:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Substituindo os valores que já calculei:
r=\frac{3100}{\sqrt{28\cdot347\,142{,}857142\ldots}}=\frac{3100}{\sqrt{9\,720\,000}}=\frac{31}{\sqrt{972}}.
Podemos simplificar \sqrt{972}=18\sqrt{3}, então
r=\frac{31}{18\sqrt{3}}\approx0{,}99433.
Interpretação prática: r próximo de 1 indica uma correlação linear positiva muito forte entre idade do carro e custo de manutenção.

Passo 7

Estimativa do custo para x=8: usar a reta de regressão
\hat{y}(8)=150+\frac{775}{7}\cdot 8=150+\frac{6200}{7}=\frac{7250}{7}\approx1035{,}7142857.
Ou seja, estima-se cerca de 1035{,}71 R$ para um carro de 8 anos.

Resposta

r\approx0{,}99433
\hat{y}=150+\dfrac{775}{7}\,x (ou \hat{y}\approx150+110{,}7142857\,x)
\hat{y}(8)=\dfrac{7250}{7}\approx1035{,}7142857

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