De um ponto P , situado a 3 cm de uma circunferência, traça-se um segmento de tangente \overline{P C} cuja medida é 9 cm . Nessas condições, determine o comprimento do raio dessa circunferência.
Passo 1
O enunciado diz: “De um ponto P, situado a 3\\ \text{cm} de uma circunferência, traça-se um segmento de tangente \overline{PC} cuja medida é 9\\ \text{cm}. Nessas condições, determine o comprimento do raio dessa circunferência.”
Informações dadas:
A distância do ponto P até a circunferência (isto é, a menor distância entre P e qualquer ponto da circunferência) é 3\\ \text{cm}.
O segmento de tangente a partir de P até o ponto de tangência C tem comprimento \overline{PC}=9\\ \text{cm}.
O que é pedido:
Determinar o comprimento do raio da circunferência (ou seja, encontrar r, em cm).
Passo 2
Vamos definir as variáveis e desenhar mentalmente a situação (ou riscar num papel, o que eu recomendo): seja O o centro da circunferência e r o seu raio. A distância do ponto P até o centro O chamaremos de OP. Note que a “distância de P à circunferência” é a diferença entre OP e r quando P está fora da circunferência. Assim:
\text{distância de }P\text{ à circunferência}=OP-r=3.âàê
Portanto obtemos a relação
OP = r+3.
Passo 3
Propriedade importante sobre tangentes (explicando como se estivesse ao lado de você): quando uma reta tangente toca uma circunferência em C, o raio traçado até C é perpendicular à tangente naquele ponto. Ou seja, o segmento OC forma um ângulo de 90^\circ com PC. Então no triângulo OPC temos um triângulo retângulo com ângulo reto em C.
Passo 4
Usamos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OPC. O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Aqui a hipotenusa é OP e os catetos são OC e PC. Como OC=r e PC=9, temos:
Subtraindo r^{2} de ambos os lados (eles se cancelam):
6r + 9 = 81.
Subtraindo 9 de ambos os lados:
6r = 72.
Dividindo ambos os lados por 6:
r = 12.
Verificação rápida (sempre bom checar): OP = r+3 = 15. Então OP^{2}=225 e r^{2}+9^{2}=144+81=225. Está consistente.
Passo 6
Interpretação final e checagem: obtivemos r=12. É um valor positivo (conforme esperado para um raio). A verificação pelo Teorema de Pitágoras confirma que a construção geométrica é consistente.