Q 152 Identificando a indeterminação, calcule cada limite abaixo usando a regra de L’Hôspital.
(z) lim x +infty x tg(1x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto+infty x,tan!l(tfrac1xr)
usando a regra de L’H^opital. O conteúdo principal aqui é identificar a forma de indeterminação e, em seguida, aplicar L’H^opital corretamente, fazendo derivadas de numerador e denominador.

Passo 2

Reescrevemos o produto como quociente para expor a indeterminação. Observamos que
x,tan!l(tfrac1xr) =tan!l(tfrac1xr)tfrac1x

Passo 3

Agora verificamos o comportamento de numerador e denominador quando xto+infty:
tan!l(tfrac1xr)totan(0)=0 e tfrac1xto0.
Logo temos uma indeterminação do tipo tfrac00.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’H^opital, derivando numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
ddxl[tan!l(tfrac1xr)r] =sec^2!l(tfrac1xr)cdotddxl(tfrac1xr) =sec^2!l(tfrac1xr),(-tfrac1x^2)
Derivada do denominador:
ddxl[tfrac1xr] =-tfrac1x^2
Portanto, pelo L’H^opital,
limxto+inftytan(tfrac1x)tfrac1x =limxto+inftysec^2(tfrac1x),(-tfrac1x^2)-tfrac1x^2 =limxto+inftysec^2!l(tfrac1xr)

Passo 5

Como tfrac1xto0 quando xto+infty, temos
sec^2!l(tfrac1xr)tosec^2(0)=1
Logo o limite original vale 1.

Resposta

1

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