Discuta a continuidade da função f dada por
f(x, y)=rll raiz[2024]x^3 y^3x^12+y^4, & se & (x, y) neq(0,0) 12, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função f(x, y) que muda de definição dependendo se o ponto (x, y) é diferente de (0,0) ou igual a (0,0). O objetivo é discutir se essa função é contínua em (0,0). Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite em funções de duas variáveis e como verificar a continuidade usando esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando (x, y) se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 12
Se essa igualdade for verdadeira, a função é contínua em (0,0). Caso contrário, ela não é contínua nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função para (x, y) neq (0,0) é:
f(x, y) = raiz[2024]x^3 y^3x^12 + y^4
Para calcular esse limite, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm potências de x e y, então vamos ver como elas se comportam quando x e y tendem a zero.

Passo 4

Vamos considerar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
  • Numerador: x^3 y^3 tende a zero, já que qualquer número pequeno elevado a uma potência positiva tende a zero.
  • Denominador: x^12 + y^4 também tende a zero, pois somamos duas quantidades que tendem a zero.
Então, temos uma expressão do tipo 00 dentro da raiz, o que indica que precisamos analisar mais detalhadamente a taxa com que o numerador e o denominador tendem a zero.

Passo 5

Para entender melhor, vamos reescrever a expressão dentro da raiz usando propriedades de potências:
x^3 y^3x^12 + y^4 = (xy)^3x^12 + y^4
Agora, vamos tentar determinar como essa fração se comporta para diferentes caminhos de aproximação a (0,0). Se o limite depender do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 6

Vamos escolher caminhos específicos para aproximar (0,0) e calcular o limite:
  1. Caminho y = x^3:
    Substituindo y por x^3 na expressão:
    x^3 (x^3)^3x^12 + (x^3)^4 = x^3 x^9x^12 + x^12 = x^122x^12 = 12
    Então, a expressão dentro da raiz se aproxima de 12.
  2. Caminho y = x:
    Substituindo y por x:
    x^3 x^3x^12 + x^4 = x^6x^12 + x^4 = x^6x^4(x^8 + 1) = x^2x^8 + 1
    Quando x to 0, isso se aproxima de 0.

Passo 7

Observamos que, dependendo do caminho escolhido para se aproximar de (0,0), o limite da expressão dentro da raiz assume valores diferentes:
  • Pelo caminho y = x^3, o limite é 12.
  • Pelo caminho y = x, o limite é 0.
Como os limites são diferentes, isso significa que o limite geral não existe. Portanto, a função f(x, y) não possui um limite único quando (x, y) to (0,0).

Passo 8

Como o limite de f(x, y) quando (x, y) to (0,0) não existe, ele não pode ser igual a f(0,0) = 12. Logo, a função f não é contínua no ponto (0,0).

Resposta

A função f(x, y) não é contínua em (0,0) porque o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) não existe.

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