Discuta a continuidade da função
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
que muda de definição dependendo se o ponto
é diferente de
ou igual a
. O objetivo é discutir se essa função é contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite em funções de duas variáveis e como verificar a continuidade usando esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se:
Se essa igualdade for verdadeira, a função é contínua em
. Caso contrário, ela não é contínua nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite da função quando
se aproxima de
. A função para
é:
Para calcular esse limite, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm potências de
e
, então vamos ver como elas se comportam quando
e
tendem a zero.
Passo 4
Vamos considerar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
- Numerador:
tende a zero, já que qualquer número pequeno elevado a uma potência positiva tende a zero. - Denominador:
também tende a zero, pois somamos duas quantidades que tendem a zero.
Então, temos uma expressão do tipo
dentro da raiz, o que indica que precisamos analisar mais detalhadamente a taxa com que o numerador e o denominador tendem a zero.
Passo 5
Para entender melhor, vamos reescrever a expressão dentro da raiz usando propriedades de potências:
Agora, vamos tentar determinar como essa fração se comporta para diferentes caminhos de aproximação a
. Se o limite depender do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.
Passo 6
Vamos escolher caminhos específicos para aproximar
e calcular o limite:
-
Caminho
: Substituindopor na expressão: Então, a expressão dentro da raiz se aproxima de. -
Caminho
: Substituindopor : Quando, isso se aproxima de .
Passo 7
Observamos que, dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, o limite da expressão dentro da raiz assume valores diferentes:
- Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é .
Como os limites são diferentes, isso significa que o limite geral não existe. Portanto, a função
não possui um limite único quando
.
Passo 8
Como o limite de
quando
não existe, ele não pode ser igual a
. Logo, a função
não é contínua no ponto
.
Resposta
A função
não é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de
não existe.