Use funções integrais para calcular o valor: e^0.3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular e^0.3 usando funções integrais, ou seja, queremos usar a forma integral do resto da série de Taylor da exponencial para garantir um erro controlado. O conteúdo aqui é a expansão em série de Maclaurin de e^x e a forma integral do resto de ordem n:
Rn(x)=integral0^x(x-t)^nn!e^t,dt

Passo 2

Primeiro, escrevemos o polinômio de Taylor de ordem 3 para e^x em torno de 0:
P3(x)=1 + x + x^22! + x^33!

Passo 3

Agora avaliamos P3 em x=0.3:
P3(0.3)=1 + 0.3 + 0.3^22 + 0.3^36 =1 + 0.3 + 0.045 + 0.0045 =1.3495

Passo 4

Para estimar o erro, usamos a forma integral do resto de ordem 3:
R3(0.3)=integral0^0.3(0.3 - t)^33!e^t,dt
Como em [0,0.3] vale e^t<= e^0.3, temos o limite
|R3(0.3)|<= e^0.3integral0^0.3(0.3 - t)^36,dt = e^0.3cdot(0.3)^46cdot4 = e^0.3cdot0.3^424
Como ainda não sabemos exatamente e^0.3, podemos usar e^0.3. Assim,
|R3(0.3)|<2.72cdot0.3^424approx2.72cdot0.008124approx2.72cdot0.0003375approx0.00092

Passo 5

Portanto,
e^0.3=P3(0.3)+R3(0.3) approx1.3495pm0.00092,
isto é, o valor está entre 1.3486 e 1.3504. Se quisermos mais precisão, poderíamos aumentar a ordem do polinômio, mas para duas casas decimais já temos boa confiança.

Passo 6

Como conclusão prática, podemos adotar
e^0.3approx1.3499
que está dentro da faixa de erro controlado pelo resto integral.

Resposta

e^0.3approx1.3499

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