(1,0 - ponto) Um grupo é constituído de 6 homens e 4 mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam homens?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
homens e mulheres, total de pessoas. - Selecionam-se
pessoas ao acaso, sem reposição.
A pergunta é: qual a probabilidade de que, entre asselecionadas, haja “ao menos duas” homens (ou seja, ou homens)?
Passo 2
Vamos pensar no espaço amostral (todas as seleções possíveis de
pessoas entre
). Como a ordem não importa (uma seleção de pessoas não é ordenada), contamos combinações. O número total de maneiras possíveis é
Aqui usamos a fórmula de combinação
, em que
(fatorial de
) é
. Isso conta quantas maneiras distintas de escolher
elementos entre
sem considerar ordem.
Passo 3
Calculemos
passo a passo:
Logo existem
seleções possíveis de
pessoas entre as
.
Passo 4
“O evento” que queremos é “ao menos duas homens”. Vamos dividir esse evento em duas partes mutuamente exclusivas e fáceis de contar:
- exatamente
homens (e mulher), - exatamente
homens.
Contaremos as maneiras de cada caso e somaremos.
Passo 5
Contagem do caso “exatamente
homens”: escolhemos
homens entre os
disponíveis e
mulher entre as
:
Calculemos
e
:
Portanto, número de maneiras =
.
Passo 6
Contagem do caso “exatamente
homens”: escolhemos
homens entre os
:
Calculemos:
Passo 7
Total de maneiras favoráveis (ao menos duas homens) é a soma dos dois casos:
Passo 8
A probabilidade pedida é razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos:
Simplificando a fração:
Passo 9
Observação pedagógica curta: existe uma fórmula geral equivalente (muito usada) para esse tipo de problema sem reposição, que é
onde
é o total,
o total de “sucessos” (aqui homens),
o tamanho da amostra e
o número de sucessos desejado. Aplicando para
e
e somando dá o mesmo resultado que fizemos.