(1,0 - ponto) Um grupo é constituído de 6 homens e 4 mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam homens?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 6 homens e 4 mulheres, total de 10 pessoas.
  • Selecionam-se 3 pessoas ao acaso, sem reposição.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que, entre as 3 selecionadas, haja “ao menos duas” homens (ou seja, 2 ou 3 homens)?

Passo 2

Vamos pensar no espaço amostral (todas as seleções possíveis de 3 pessoas entre 10). Como a ordem não importa (uma seleção de pessoas não é ordenada), contamos combinações. O número total de maneiras possíveis é
\binom{10}{3}.
Aqui usamos a fórmula de combinação \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}, em que n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Isso conta quantas maneiras distintas de escolher k elementos entre n sem considerar ordem.

Passo 3

Calculemos \binom{10}{3} passo a passo:
\binom{10}{3}=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\dfrac{720}{6}=120.
Logo existem 120 seleções possíveis de 3 pessoas entre as 10.

Passo 4

“O evento” que queremos é “ao menos duas homens”. Vamos dividir esse evento em duas partes mutuamente exclusivas e fáceis de contar:
  • exatamente 2 homens (e 1 mulher),
  • exatamente 3 homens.
    Contaremos as maneiras de cada caso e somaremos.

Passo 5

Contagem do caso “exatamente 2 homens”: escolhemos 2 homens entre os 6 disponíveis e 1 mulher entre as 4:
\text{nº maneiras}=\binom{6}{2}\cdot\binom{4}{1}.º
Calculemos \binom{6}{2} e \binom{4}{1}:
\binom{6}{2}=\dfrac{6\cdot5}{2\cdot1}=15, \qquad \binom{4}{1}=4.
Portanto, número de maneiras = 15\cdot4=60.

Passo 6

Contagem do caso “exatamente 3 homens”: escolhemos 3 homens entre os 6:
\text{nº maneiras}=\binom{6}{3}.º
Calculemos:
\binom{6}{3}=\dfrac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.

Passo 7

Total de maneiras favoráveis (ao menos duas homens) é a soma dos dois casos:
60 + 20 = 80.

Passo 8

A probabilidade pedida é razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos:
P(\text{ao menos 2 homens})=\dfrac{80}{120}.
Simplificando a fração:
\dfrac{80}{120}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}666\ldots

Passo 9

Observação pedagógica curta: existe uma fórmula geral equivalente (muito usada) para esse tipo de problema sem reposição, que é
P(\text{k sucessos})=\dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
onde N é o total, K o total de “sucessos” (aqui homens), n o tamanho da amostra e k o número de sucessos desejado. Aplicando para k=2 e k=3 e somando dá o mesmo resultado que fizemos.

Resposta

\dfrac{2}{3} (ou 0{,}666\ldots)

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