A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser:
vermelha?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (do jeito mais claro possível): \n
  • A urna I contém 3 bolas vermelhas e 4 brancas. Portanto o total na urna I é 3+4=7. \n
  • A urna II contém 2 bolas vermelhas e 6 brancas. Portanto o total na urna II é 2+6=8. \n
  • A urna III contém 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Portanto o total na urna III é 5+2+3=10. \n
  • Uma urna é selecionada ao acaso (isto é, cada urna tem a mesma chance de ser escolhida). Então P(U_1)=P(U_2)=P(U_3)=\tfrac{1}{3}, onde U_i é o evento “escolher a urna i”. \n
  • Depois de escolher a urna, retira-se uma bola ao acaso dessa urna. \n
  • Pergunta: qual a probabilidade de a bola extraída ser vermelha? (denotaremos esse evento por R). \n

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo): \n
  • Quando um experimento tem duas etapas (escolher uma urna, depois tirar uma bola), a probabilidade do evento final (tirar uma vermelha) pode ser obtida somando as probabilidades condicionais de tirar vermelha em cada urna multiplicadas pela probabilidade de escolher essa urna. \n
  • Em linguagem de probabilidade isso é a Lei da Probabilidade Total: \n
P(R)=P(R\mid U_1)P(U_1)+P(R\mid U_2)P(U_2)+P(R\mid U_3)P(U_3).
  • Aqui P(R\mid U_i) significa “probabilidade de tirar vermelha dado que escolhemos a urna i”. É calculada como número de bolas vermelhas na urna i dividido pelo total de bolas na urna i. Vou calcular cada uma dessas probabilidades condicionais e depois somar como a fórmula pede.

Passo 3

Calcular P(R\mid U_1): \n
  • Na urna I há 3 vermelhas e total 7. Então a probabilidade de tirar uma vermelha da urna I é \n
P(R\mid U_1)=\frac{3}{7}.
  • Explicação curta: escolher uma bola ao acaso numa urna com 7 bolas, das quais 3 são vermelhas, dá razão 3/7.

Passo 4

Calcular P(R\mid U_2): \n
  • Na urna II há 2 vermelhas e total 8. Então \n
P(R\mid U_2)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
  • Explicação: simplificamos 2/8 para 1/4.

Passo 5

Calcular P(R\mid U_3): \n
  • Na urna III há 5 vermelhas e total 10. Então \n
P(R\mid U_3)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.
  • Observação: as bolas amarelas na urna III existem, mas isso só afeta o total; não importa a cor, só conta que há 10 bolas no total e 5 são vermelhas.

Passo 6

Aplicar a Lei da Probabilidade Total e simplificar: \n
  • Substituindo os valores na fórmula do Passo 2: \n
P(R)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}.
  • Calcule cada termo: \n
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1}{7},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.
  • Somando as frações: \n
P(R)=\frac{1}{7}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}.
  • Para somar, usem o mínimo múltiplo comum 84: \n
\frac{1}{7}=\frac{12}{84},\quad \frac{1}{12}=\frac{7}{84},\quad \frac{1}{6}=\frac{14}{84}.
  • Soma: \n
P(R)=\frac{12+7+14}{84}=\frac{33}{84}.
  • Simplificando dividindo por 3: \n
P(R)=\frac{11}{28}.

Resposta

\dfrac{11}{28}

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