A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser:
vermelha?
vermelha?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (do jeito mais claro possível): \n
- A urna I contém
bolas vermelhas e brancas. Portanto o total na urna I é . \n - A urna II contém
bolas vermelhas e brancas. Portanto o total na urna II é . \n - A urna III contém
bolas vermelhas, brancas e amarelas. Portanto o total na urna III é . \n - Uma urna é selecionada ao acaso (isto é, cada urna tem a mesma chance de ser escolhida). Então
, onde é o evento “escolher a urna ”. \n - Depois de escolher a urna, retira-se uma bola ao acaso dessa urna. \n
- Pergunta: qual a probabilidade de a bola extraída ser vermelha? (denotaremos esse evento por
). \n
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo): \n
- Quando um experimento tem duas etapas (escolher uma urna, depois tirar uma bola), a probabilidade do evento final (tirar uma vermelha) pode ser obtida somando as probabilidades condicionais de tirar vermelha em cada urna multiplicadas pela probabilidade de escolher essa urna. \n
- Em linguagem de probabilidade isso é a Lei da Probabilidade Total: \n
- Aqui
significa “probabilidade de tirar vermelha dado que escolhemos a urna ”. É calculada como número de bolas vermelhas na urna dividido pelo total de bolas na urna . Vou calcular cada uma dessas probabilidades condicionais e depois somar como a fórmula pede.
Passo 3
Calcular
: \n
- Na urna I há
vermelhas e total . Então a probabilidade de tirar uma vermelha da urna I é \n
- Explicação curta: escolher uma bola ao acaso numa urna com
bolas, das quais são vermelhas, dá razão .
Passo 4
Calcular
: \n
- Na urna II há
vermelhas e total . Então \n
- Explicação: simplificamos
para .
Passo 5
Calcular
: \n
- Na urna III há
vermelhas e total . Então \n
- Observação: as bolas amarelas na urna III existem, mas isso só afeta o total; não importa a cor, só conta que há
bolas no total e são vermelhas.
Passo 6
Aplicar a Lei da Probabilidade Total e simplificar: \n
- Substituindo os valores na fórmula do Passo 2: \n
- Calcule cada termo: \n
- Somando as frações: \n
- Para somar, usem o mínimo múltiplo comum
: \n
- Soma: \n
- Simplificando dividindo por
: \n