A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser:
branca?
branca?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de a bola ser branca?”\n
Informações dadas:\n
A urna I contém bolas vermelhas e
bolas brancas.
A urna II contém bolas vermelhas e
bolas brancas.
A urna III contém bolas vermelhas,
bolas brancas e
bolas amarelas.
Uma urna é selecionada ao acaso (ou seja, cada urna tem a mesma chance de ser escolhida) e, depois, é retirada uma bola ao acaso dessa urna.
Informações dadas:\n
A urna I contém
A urna II contém
A urna III contém
Uma urna é selecionada ao acaso (ou seja, cada urna tem a mesma chance de ser escolhida) e, depois, é retirada uma bola ao acaso dessa urna.
Passo 2
Vamos definir eventos importantes (para ficar organizado):\n
Seja o evento “a bola retirada é branca”.
Seja o evento “foi escolhida a urna I”.
Seja o evento “foi escolhida a urna II”.
Seja o evento “foi escolhida a urna III”.\n
O que queremos é , a probabilidade de sair branca.
Seja
Seja
Seja
Seja
O que queremos é
Passo 3
Primeiro precisamos das probabilidades condicionais “probabilidade de sair branca dado que escolhemos cada urna”, ou seja,
.\n
Calculemos o total de bolas em cada urna (pego dos dados do enunciado):\n
Para a urna I: total . Então
Calculemos o total de bolas em cada urna (pego dos dados do enunciado):\n
Para a urna I: total
Para a urna II: total
. Então
Para a urna III: total
. Então
Passo 4
Agora precisamos das probabilidades de escolha de cada urna. O enunciado diz “uma urna é selecionada ao acaso” entre as três, então cada urna tem probabilidade igual:
Passo 5
Usamos o Teorema da Probabilidade Total, que diz: se
formam uma partição do espaço (o que acontece aqui), então
Substituindo os valores calculados:
Agora simplificamos termo a termo:
Somando:
Para somar, colocamos em denominador comum. Um denominador comum é
. Convertendo:
Logo
Simplificando por
:
Passo 6
Interpretação rápida: a probabilidade de tirar uma bola branca, depois de escolher uma urna ao acaso e retirar uma bola, é
, ou cerca de
. Dá para ver que a contribuição maior veio da urna II (muitas brancas), mas a mistura das três urnas deixa o resultado pouco acima de
. Força aí — você já entendeu a ideia: calcular
e combinar com
.