A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser:
branca?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de a bola ser branca?”\n
Informações dadas:\n
A urna I contém (3) bolas vermelhas e (4) bolas brancas.
A urna II contém (2) bolas vermelhas e (6) bolas brancas.
A urna III contém (5) bolas vermelhas, (2) bolas brancas e (3) bolas amarelas.
Uma urna é selecionada ao acaso (ou seja, cada urna tem a mesma chance de ser escolhida) e, depois, é retirada uma bola ao acaso dessa urna.

Passo 2

Vamos definir eventos importantes (para ficar organizado):\n
Seja W o evento “a bola retirada é branca”.
Seja U_1 o evento “foi escolhida a urna I”.
Seja U_2 o evento “foi escolhida a urna II”.
Seja U_3 o evento “foi escolhida a urna III”.\n
O que queremos é P(W), a probabilidade de sair branca.

Passo 3

Primeiro precisamos das probabilidades condicionais “probabilidade de sair branca dado que escolhemos cada urna”, ou seja, P(W\mid U_i).\n
Calculemos o total de bolas em cada urna (pego dos dados do enunciado):\n
Para a urna I: total = 3 + 4 = 7. Então
P(W\mid U_1)=\frac{4}{7}.
Para a urna II: total = 2 + 6 = 8. Então
P(W\mid U_2)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Para a urna III: total = 5 + 2 + 3 = 10. Então
P(W\mid U_3)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.

Passo 4

Agora precisamos das probabilidades de escolha de cada urna. O enunciado diz “uma urna é selecionada ao acaso” entre as três, então cada urna tem probabilidade igual:
P(U_1)=P(U_2)=P(U_3)=\frac{1}{3}.

Passo 5

Usamos o Teorema da Probabilidade Total, que diz: se U_1,U_2,U_3 formam uma partição do espaço (o que acontece aqui), então
P(W)=P(U_1)P(W\mid U_1)+P(U_2)P(W\mid U_2)+P(U_3)P(W\mid U_3).
Substituindo os valores calculados:
P(W)=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{7}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}.
Agora simplificamos termo a termo:
\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{7}=\frac{4}{21},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}.
Somando:
P(W)=\frac{4}{21}+\frac{1}{4}+\frac{1}{15}.
Para somar, colocamos em denominador comum. Um denominador comum é 420. Convertendo:
\frac{4}{21}=\frac{80}{420},\qquad \frac{1}{4}=\frac{105}{420},\qquad \frac{1}{15}=\frac{28}{420}.
Logo
P(W)=\frac{80+105+28}{420}=\frac{213}{420}.
Simplificando por 3:
P(W)=\frac{71}{140}\approx 0,50714.

Passo 6

Interpretação rápida: a probabilidade de tirar uma bola branca, depois de escolher uma urna ao acaso e retirar uma bola, é \frac{71}{140}, ou cerca de 50{,}71\%. Dá para ver que a contribuição maior veio da urna II (muitas brancas), mas a mistura das três urnas deixa o resultado pouco acima de 50\%. Força aí — você já entendeu a ideia: calcular P(W\mid U_i) e combinar com P(U_i).

Resposta

\dfrac{71}{140}\approx 0,50714

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