O ponto de interseção das diagonais de um quadrado desliza ao longo do diâmetro de um círculo de raio a. O plano do quadrado permanece sempre perpendicular ao plano do círculo, enquanto dois vértices opostos do quadrado deslizam pelo círculo. Encontre o volume do sólido obtido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado por um quadrado que desliza de modo que o ponto médio de sua diagonal percorra um diâmetro de um círculo de raio ,a, mantendo o plano do quadrado sempre perpendicular ao plano do círculo e com os dois vértices opostos sempre sobre o círculo. O conteúdo principal aqui é o método das seções transversais (fatias) e coordenadas para descrever a forma de cada seção.

Passo 2

Coordenatizamos o círculo no plano xy com raio ,a centrado na origem. Como o quadrado está sempre num plano vertical (perpendicular ao plano do círculo), podemos parametrizar sua posição pelo valor x=s, onde s varia de -a a a. Nesse plano vertical x=s, os dois vértices opostos do quadrado que tocam o círculo são
l(s,pmraiza^2-s^2,0r),
logo a diagonal correspondente tem comprimento 2,raiza^2-s^2 e centro em ,(s,0,0).

Passo 3

Num plano vertical x=s, o quadrado tem uma diagonal horizontal de comprimento 2,y0 com y0=raiza^2-s^2 e a outra diagonal perpendicular a ela, vertical, também de comprimento 2,y0. Essa região em coordenadas (y,z) é o losango descrito por
|y|+|z|<= y0
A área desse losango é
A(s);=;(2y0),(2y0)2;=;2,y0^2 ;=;2l(a^2-s^2r)

Passo 4

Pelo método das seções, o volume do sólido é
V ;=;integrals=-a^a A(s),ds ;=;integral-a^a2l(a^2-s^2r),ds
Calculando,
integral-a^al(a^2-s^2r),ds =l[a^2s-tfracs^33r]-a^a =2a^3-tfrac2a^33 =tfrac4a^33,
então
V=2cdottfrac4a^33=tfrac8a^33

Resposta

V = 8a^33

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