O ponto de interseção das diagonais de um quadrado desliza ao longo do diâmetro de um círculo de raio
. O plano do quadrado permanece sempre perpendicular ao plano do círculo, enquanto dois vértices opostos do quadrado deslizam pelo círculo. Encontre o volume do sólido obtido.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado por um quadrado que desliza de modo que o ponto médio de sua diagonal percorra um diâmetro de um círculo de raio
, mantendo o plano do quadrado sempre perpendicular ao plano do círculo e com os dois vértices opostos sempre sobre o círculo. O conteúdo principal aqui é o método das seções transversais (fatias) e coordenadas para descrever a forma de cada seção.
Passo 2
Coordenatizamos o círculo no plano
com raio
centrado na origem. Como o quadrado está sempre num plano vertical (perpendicular ao plano do círculo), podemos parametrizar sua posição pelo valor
, onde
varia de
a
. Nesse plano vertical
, os dois vértices opostos do quadrado que tocam o círculo são
logo a diagonal correspondente tem comprimento
e centro em
.
Passo 3
Num plano vertical
, o quadrado tem uma diagonal horizontal de comprimento
com
e a outra diagonal perpendicular a ela, vertical, também de comprimento
. Essa região em coordenadas
é o losango descrito por
A área desse losango é
Passo 4
Pelo método das seções, o volume do sólido é
Calculando,
então