Um ponto material está submetido ao seguinte estado de tensão no momento de seu colapso mecânico (falha). Determine o valor da tensão de escoamento do material prevista pelos critérios de Tresca e Von Mises ( \left[\sigma_{1}{ }^{2}+\sigma_{2}{ }^{2}+\sigma_{3}{ }^{2}-\sigma_{1} \sigma_{2}-\sigma_{1} \sigma_{3}-\sigma_{2} \sigma_{3}\right]^{1 / 2}= \left.\sigma_{e}\right).
[\sigma]=\left[\begin{array}{ccc} -10 & -70 & 0 \\\\ -70 & 300 & 0 \\\\ 0 & 0 & -15 \end{array}\right] M P a

Passo 1

O enunciado nos dá o tensor de tensões no ponto de colapso
[\sigma]=\begin{pmatrix} -10 & -70 & 0\\\\ -70 & 300 & 0\\\\ 0 & 0 & -15 \end{pmatrix}\text{MPa}
e pede a tensão de escoamento prevista pelos critérios de Tresca e de Von Mises. Para isso, precisamos (1) encontrar as tensões principais \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3 e depois (2) aplicar cada critério.

Passo 2

Como o tensor é simétrico e só há cisalhamento no plano xy, as tensões principais saem da resolução do bloco 2\times2
\begin{pmatrix} \sigma_{xx}&\tau_{xy}\\\ \tau_{xy}&\sigma_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10&-70\\\\ -70&300 \end{pmatrix}
e de \sigma_{zz}=-15. As duas primeiras tensões principais são
\lambda_{1,2} =\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\Bigr)^{2}+\tau_{xy}^{2}} =145\pm170{,}07
logo
\sigma_1=315{,}07\text{ MPa},\quad\sigma_3=-25{,}07\text{ MPa},
e a terceira é
\sigma_2=\sigma_{zz}=-15{,}00\text{ MPa}.

Passo 3

Critério de Tresca diz que ocorre escoamento quando a máxima tensão de cisalhamento
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}
atinge k=\sigma_{y}/2. Logo, invertendo, a tensão de escoamento uniaxial \sigma_{y,\text{Tresca}} é
\sigma_{y,\text{Tresca}} =\sigma_1-\sigma_3 =315{,}07-(-25{,}07) =340{,}14\text{ MPa}.

Passo 4

Critério de Von Mises define a tensão equivalente
\sigma_e =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^{2}+(\sigma_2-\sigma_3)^{2}+(\sigma_3-\sigma_1)^{2}}{2}}.
Substituindo \sigma_1=315{,}07, \sigma_2=-15{,}00, \sigma_3=-25{,}07:
\sigma_e =\sqrt{\frac{(330{,}07)^{2}+(10{,}07)^{2}+(-340{,}14)^{2}}{2}} \approx335{,}3\text{ MPa}.

Resposta

Tensão de escoamento segundo Tresca: 340{,}14\text{ MPa}.
Tensão de escoamento segundo Von Mises: 335{,}3\text{ MPa}.

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