Calcule integralC F(r) cdot d r para os seguintes dados. Se F é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de C. Esboce C.
(0,0,0), senh de à .

Passo 1

Resumo do problema: temos que calcular o trabalho integralCvec Fcdot dvec r do campo vec F=(cosh x,,sinh y,,e^z) ao longo da curva C dada por vec r(t)=(t,t^2,t^3) de t=0 até t=1/2. O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais e vamos parametrizar a curva.

Passo 2

Parametrização e derivada: a curva C vai de (0,0,0) a (1/2,1/4,1/8) com vec r(t)=(t,t^2,t^3) e vec r,'(t)=(1,2t,3t^2), para 0<= t<=1/2.

Passo 3

Formulação da integral: substituindo na integral de linha obtemos
integralCvec Fcdot dvec r =integral0^1/2l(cosh t,sinh(t^2),e^t^3r)cdot(1,2t,3t^2),dt =integral0^1/2l[cosh t+2tsinh(t^2)+3t^2e^t^3r]dt

Passo 4

Cálculo de cada termo por substituição:
  • integral0^1/2cosh t,dt=sinh t|0^1/2=sinh(1/2)
  • integral0^1/22tsinh(t^2),dt: use u=t^2, du=2t,dt, limites 0to1/4, fica integral0^1/4sinh u,du=cosh u|0^1/4=cosh(1/4)-1
  • integral0^1/23t^2e^t^3,dt: use v=t^3, dv=3t^2,dt, limites 0to1/8, fica integral0^1/8e^v,dv=e^v|0^1/8=e^1/8-1

Passo 5

Somando os resultados obtemos
sinhl(tfrac12r)+l[coshl(tfrac14r)-1r]+l[e^1/8-1r] =sinhl(tfrac12r)+coshl(tfrac14r)+e^1/8-2
Esboço de C: é uma curva no espaço que sai da origem e, no plano xy, segue a parábola y=x^2 enquanto cresce em z=x^3, com 0<= x<=1/2.

Resposta

sinh(tfrac12)+cosh(tfrac14)+e^1/8-2

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