(1,0 ponto) Mostre que o volume obtido pela rotação de
x^{2}+(y-p)^{2} \leq q^{2},
em que p \geq q>0 em torno do eixo x é igual a 2 \pi^{2} p q^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a região do plano
x^{2} + (y - p)^{2} \le q^{2},
que é um disco de raio q centrado em (0,p), com p\ge q>0. Pede-se o volume obtido ao girar esse disco em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou “washers”), escrevendo a área de seção transversal em função de x e integrando.

Passo 2

Para um dado x com -q\le x\le q, os valores de y na região satisfazem
(y-p)^{2}\le q^{2}-x^{2},
isto é,
y\in \bigl[p-\sqrt{q^{2}-x^{2}},\,p+\sqrt{q^{2}-x^{2}}\bigr].

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, em cada x obtemos um anel de raio externo
R_{\text{out}}=p+\sqrt{q^{2}-x^{2}}
e raio interno
R_{\text{in}}=p-\sqrt{q^{2}-x^{2}}.
A área desse anel é
A(x) = \pi\bigl(R_{\text{out}}^{2}-R_{\text{in}}^{2}\bigr).

Passo 4

Calculando a diferença de quadrados, temos
R_{\text{out}}^{2}-R_{\text{in}}^{2} =\bigl(p+\sqrt{q^{2}-x^{2}}\bigr)^{2} - \bigl(p-\sqrt{q^{2}-x^{2}}\bigr)^{2} =4\,p\,\sqrt{q^{2}-x^{2}},
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A(x)=4\pi\,p\,\sqrt{q^{2}-x^{2}}.

Passo 5

O volume é
V=\int_{x=-q}^{q}A(x)\,dx =4\pi\,p\int_{-q}^{q}\sqrt{q^{2}-x^{2}}\;dx.
Sabendo que
\int_{-q}^{q}\sqrt{q^{2}-x^{2}}\;dx =\frac{\pi\,q^{2}}{2},
segue
V =4\pi\,p\;\frac{\pi\,q^{2}}{2} =2\,\pi^{2}\,p\,q^{2}.

Resposta

O volume é 2\pi^{2}p\,q^{2}.

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