(1,0 ponto) Mostre que o volume obtido pela rotação de
em que
em torno do eixo
é igual a
.
Passo 1
O enunciado dá a região do plano
que é um disco de raio
centrado em
, com
. Pede-se o volume obtido ao girar esse disco em torno do eixo
. Vamos usar o método dos discos (ou “washers”), escrevendo a área de seção transversal em função de
e integrando.
Passo 2
Para um dado
com
, os valores de
na região satisfazem
isto é,
Passo 3
Ao girar em torno do eixo
, em cada
obtemos um anel de raio externo
e raio interno
A área desse anel é
Passo 4
Calculando a diferença de quadrados, temos
logo
Passo 5
O volume é
Sabendo que
segue
Resposta
O volume é
.