Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
y^{\prime}=\frac{x^{3}}{y} \operatorname{com} y(0)=2

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial (problema de Cauchy)
y' = \frac{x^3}{y},\quad y(0)=2.
O conteúdo são equações diferenciais separáveis; vamos separar variáveis, integrar e usar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Separando variáveis, escrevemos
y\,dy = x^3\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int x^3\,dx
e obtemos
\frac{y^2}{2} = \frac{x^4}{4} + C.

Passo 4

Para encontrar C, usamos y(0)=2. Substituindo em
\frac{y^2}{2} = \frac{x^4}{4} + C
vem
\frac{2^2}{2} = 0 + C \quad\Rightarrow\quad C = 2.

Passo 5

Substituindo C=2 na integral, temos
\frac{y^2}{2} = \frac{x^4}{4} + 2
que equivale a
y^2 = \frac{x^4}{2} + 4.
Para satisfazer y(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo:
y = \sqrt{\frac{x^4}{2} + 4}.

Resposta

y(x) = \sqrt{\frac{x^4}{2} + 4}.

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