(1,0 ponto) Verifique se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{4 n+3}
é convergente. Caso não seja convergente, justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{4n+3}
é convergente. Vamos aplicar o teste da divergência, que afirma que se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, então a série \sum a_n diverge.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral a_n=\frac{2n+1}{4n+3}:
\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{4n+3} =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{4+\frac{3}{n}} =\frac{2}{4} =\frac12.

Passo 3

O resultado \frac12\neq0 mostra que a condição necessária para convergência falha. Pelo teste da divergência, a série não é convergente.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral tende a \tfrac12\neq0.

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