Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
Considere a equação diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0, \quad x>0
Supondo que y_{1}(x)=x é uma solução da equação (\star), use o método de redução de ordem para determinar que uma segunda solução de (\star) da forma y_{2}(x)= v(x) y_{1}(x) vem dada por y_{2}(x)=x e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação homogênea
x^{2}y''-x(x+2)y'+(x+2)y=0,\quad x>0
sabendo que y_{1}(x)=x é uma solução, e depois calcular o wronskiano das duas soluções. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar y_{2} e em seguida computar
W[y_{1},y_{2}](x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0.
Dividindo por x^{2}, obtemos
y''-\frac{x+2}{x}\,y'+\frac{x+2}{x^{2}}\,y=0,
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P(x)=-\frac{x+2}{x}.
Pelo método de redução de ordem, uma segunda solução é
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\int \frac{\exp\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr)}{[y_{1}(x)]^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos \exp\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr):
-\int P(x)\,dx =-\int\Bigl(-\frac{x+2}{x}\Bigr)dx =\int\Bigl(\frac{x+2}{x}\Bigr)dx =\int\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)dx =x+2\ln x.
Portanto
\exp\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr) =e^{\,x+2\ln x} =e^{x}\,x^{2}.
Então o integrando fica
\frac{e^{x}x^{2}}{[y_{1}(x)]^{2}} =\frac{e^{x}x^{2}}{x^{2}} =e^{x}.

Passo 4

Integramos para obter a função auxiliar v(x):
v(x)=\int e^{x}\,dx =e^{x}+C.
Escolhendo C=0 (suficiente para uma segunda solução linearmente independente),
v(x)=e^{x},
e assim
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x) = e^{x}\cdot x = x\,e^{x}.

Passo 5

Agora calculamos o wronskiano
W[y_{1},y_{2}](x) =\begin{vmatrix} x & x e^{x}\\\\ 1 & \frac{d}{dx}\bigl(xe^{x}\bigr) \end{vmatrix} =x\cdot\bigl(e^{x}+x e^{x}\bigr) - x e^{x}\cdot 1 = x e^{x}(1+x)-x e^{x} = x^{2}e^{x}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x)=C_{1}\,x + C_{2}\,x\,e^{x},
e o wronskiano das soluções y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x e^{x} é
W[y_{1},y_{2}](x)=x^{2}e^{x}.

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