Um ponto move-se ao longo da curva y=1x^2+1, de tal modo que sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3 cm / s. Qual será a velocidade da ordenada y, quando x=2 cm ?

Passo 1

O enunciado diz que um ponto move-se ao longo da curva
y = 1x^2 + 1,
com a abscissa x variando a uma velocidade constante
dxdt = 3 cm/s
Queremos encontrar a velocidade da ordenada, isto é
dydt
quando x = 2 cm. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas e vamos usar a regra da cadeia para derivar y em função do tempo.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de y em relação a x. Como
y = (x^2 + 1)^-1,
temos
dydx = -1 cdot (x^2+1)^-2 cdot 2x = -2x(x^2+1)^2

Passo 3

Pela regra da cadeia,
dydt = dydx,dxdt
Substituindo dydx = -2x(x^2+1)^2 e dxdt=3, obtemos
dydt = -2x(x^2+1)^2cdot 3 = -6x(x^2+1)^2

Passo 4

Avaliaremos em x=2:
dydt|x=2 = -6cdot 2(2^2+1)^2 = -1225 cm/s = -0,48 cm/s
O sinal negativo indica que y está diminuindo naquele instante.

Resposta

dydt = -1225 cm/s (quando x = 2)

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