Mostre que nabla^2(1r)=0 se r neq 0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que a laplaciana da função f(r)=1/r é nula para rneq0. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente o uso do operador laplaciano em funções radiais.

Passo 2

Para funções que dependem apenas da distância radial r=raizx^2+y^2+z^2, existe uma forma simplificada da laplaciana. Se f=f(r), então se pode provar (via coordenadas esféricas ou usando divergente do gradiente) que
nabla^2 f(r)=f''(r)+2r,f'(r)

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula à função f(r)=1/r. Calculamos as derivadas:
f'(r)=ddrl(r^-1r)=-r^-2,
$$f’'®=\frac{d}{dr}\bigl(-r{-2}\bigr)=2r{-3}.
f''(r)=ddrl(-r^-2r)=2r^-3 f’'®+\frac{2}{r}f’®=2r{-3}+\frac{2}{r}(-r{-2})=2r{-3}-2r{-3}=0.$$

Resposta

nabla^2(1/r)=0 para rneq0.

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