Mostre que
se
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que a laplaciana da função
é nula para
. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente o uso do operador laplaciano em funções radiais.
Passo 2
Para funções que dependem apenas da distância radial
, existe uma forma simplificada da laplaciana. Se
, então se pode provar (via coordenadas esféricas ou usando divergente do gradiente) que
Passo 3
Agora aplicamos essa fórmula à função
. Calculamos as derivadas:
$$f’'®=\frac{d}{dr}\bigl(-r{-2}\bigr)=2r{-3}.