Um ponto move-se ao longo da interseção do paraboloide z=x^2+3 y^2 e do plano x=2. Qual é a taxa de variação de z em relação a y quando o ponto estiver em (2, 1, 7)?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolver. Temos um ponto que se move na interseção do paraboloide e do plano . Queremos descobrir qual é a taxa de variação de em relação a quando o ponto está na posição . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a interseção entre o paraboloide e o plano z = (2)^2 + 3y^2 = 4 + 3y^2 . Substituindo na equação do paraboloide:
Então, nessa interseção, a relação entre e é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação de dzdy = ddy(4) + ddy(3y^2) = 0 + 6y = 6y em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar a equação em relação a :
Essa é a expressão geral para na interseção dada.

Passo 4

Agora, substituímos o valor de dzdy = 6 times 1 = 6 na posição dada para encontrar a taxa de variação específica. Na posição , :

Resposta

A taxa de variação de em relação a quando o ponto está em é .

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