Um ponto move-se ao longo da interseção do paraboloide
e do plano
. Qual é a taxa de variação de
em relação a
quando o ponto estiver em (2, 1, 7)?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolver. Temos um ponto que se move na interseção do paraboloide
e do plano
. Queremos descobrir qual é a taxa de variação de
em relação a
quando o ponto está na posição
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a interseção entre o paraboloide e o plano
. Substituindo
na equação do paraboloide:
Então, nessa interseção, a relação entre
e
é
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a equação
em relação a
:
Essa é a expressão geral para
na interseção dada.
Passo 4
Agora, substituímos o valor de
na posição dada para encontrar a taxa de variação específica. Na posição
,
:
Resposta
A taxa de variação de
em relação a
quando o ponto está em
é
.