Um ponto P(x, y) se move em um plano de modo que d xd t=1t e d yd t=2 t-4 para todo t >= 0. Expresse y como função de x sabendo que x=ln 2 e y=1 quando t=2. Determine y quando x=1 com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um ponto $ P(x, y) $ que se move no plano de acordo com as taxas de mudança $ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} $ e $ \frac{dy}{dt} = 2t - 4 $, para todo $ t \geq 0 $. O objetivo é encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $ e depois calcular o valor de $ y $ quando $ x = 1 $, sabendo que quando $ t = 2 $, $ x = \ln 2 $ e $ y = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as expressões de $ x $ e $ y $ em termos de $ t $. Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} $. Para encontrar $ x $, vamos integrar $ \frac{1}{t} $ em relação a $ t $:
x
Como $ t \geq 0 $, podemos simplificar para:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ y $. Temos $ \frac{dy}{dt} = 2t - 4 $. Integramos isso em relação a $ t $:
y

Passo 4

Precisamos encontrar as constantes de integração $ C_x $ e $ C_y $. Sabemos que quando $ t = 2 $, $ x = \ln 2 $ e $ y = 1 $.
Primeiro, para $ x $:
Cx
Então, a expressão de $ x $ fica:
Cy
Agora, para $ y $:
t = 2
Portanto, a expressão de $ y $ é:
x = ln 2

Passo 5

Agora, queremos expressar $ y $ em função de $ x $. Sabemos que $ x = \ln t $. Podemos resolver essa equação para $ t $:
y
Substituímos $ t = e^x $ na expressão de $ y $:
x

Passo 6

Agora, precisamos determinar $ y $ quando $ x = 1 $. Basta substituir $ x = 1 $ na função que encontramos:
y
Calculando isso numericamente:
x = 1

Resposta

Quando $ x = 1 $, $ y \approx 1.516 $ (com três casas decimais).

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