Um ponto
se move em um plano de modo que
e
para todo
. Expresse
como função de
sabendo que
e
quando
. Determine
quando
com precisão de no mínimo três casas decimais:
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um ponto $ P(x, y) $ que se move no plano de acordo com as taxas de mudança $ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} $ e $ \frac{dy}{dt} = 2t - 4 $, para todo $ t \geq 0 $. O objetivo é encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $ e depois calcular o valor de $ y $ quando $ x = 1 $, sabendo que quando $ t = 2 $, $ x = \ln 2 $ e $ y = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as expressões de $ x $ e $ y $ em termos de $ t $. Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} $. Para encontrar $ x $, vamos integrar $ \frac{1}{t} $ em relação a $ t $:
Como $ t \geq 0 $, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos encontrar $ y $. Temos $ \frac{dy}{dt} = 2t - 4 $. Integramos isso em relação a $ t $:
Passo 4
Precisamos encontrar as constantes de integração $ C_x $ e $ C_y $. Sabemos que quando $ t = 2 $, $ x = \ln 2 $ e $ y = 1 $.
Primeiro, para $ x $:
Então, a expressão de $ x $ fica:
Agora, para $ y $:
Portanto, a expressão de $ y $ é:
Passo 5
Agora, queremos expressar $ y $ em função de $ x $. Sabemos que $ x = \ln t $. Podemos resolver essa equação para $ t $:
Substituímos $ t = e^x $ na expressão de $ y $:
Passo 6
Agora, precisamos determinar $ y $ quando $ x = 1 $. Basta substituir $ x = 1 $ na função que encontramos:
Calculando isso numericamente:
Resposta
Quando $ x = 1 $, $ y \approx 1.516 $ (com três casas decimais).