Um ponto move-se no plano XY segundo as seguintes leis de aceleração:
ax(t)=6 t-4, ay(t)=4 t^2-8 t
Sabendo que, para t=0, as condições iniciais são: x(0)=0, y(0)=5, vx(0)=2 m / s, vy(0)=-3 m / s, determine:
(a) A equação da trajetória y(x);
(b) O valor da velocidade quando t=2 s.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que um ponto se mexe no plano XY com acelerações
ax(t)=6t-4, ay(t)=4t^2-8t
e, em x(0)=0,;y(0)=5,;vx(0)=2,;vy(0)=-3 , sabemos que
O conteúdo é Cinemática em 2D: a gente vai integrar aceleração para achar velocidade, depois integrar velocidade para achar posição. No fim (a) queremos a trajetória e (b) a velocidade escalar em ,s.

Passo 2

Primeiro a componente vx(t)=integral ax(t),dt = integral(6t-4),dt = 3t^2 -4t + C1 . Integramos
C1=2Longrightarrow vx(t)=3t^2-4t+2
Como x(t)=integral vx(t),dt = integral(3t^2-4t+2),dt = t^3 -2t^2 +2t + C2 , dá
boxedx(t)=t^3-2t^2+2t
Agora a posição :
E implica . Logo

Passo 3

Agora a componente vy(t)=integral ay(t),dt = integral(4t^2-8t),dt = tfrac43t^3 -4t^2 + C3 . Integramos
vy(t)=tfrac43t^3-4t^2-3
Como y(t)=integral vy(t),dt =integrall(tfrac43t^3-4t^2-3r)dt =tfrac13t^4-tfrac43t^3-3t + C4 , vem boxedy(t)=tfrac13t^4-tfrac43t^3-3t+5 . Então
Integramos de novo para achar :
E . Assim

Passo 4

Para achar a trajetória boxed x(t)=t^3-2t^2+2t,[6pt] y(t)=tfrac13t^4-tfrac43t^3-3t+5 a gente precisaria isolar em , mas é uma cúbica sem forma fechada simples. Então a “equação da trajetória” fica melhor em forma paramétrica:

Passo 5

Falta a velocidade escalar em vx(2)=3cdot2^2-4cdot2+2=12-8+2=6, vy(2)=tfrac43,2^3-4cdot2^2-3 =tfrac323-16-3 =tfrac32-573 =-tfrac253 . Primeiro calculamos v(2)=raizvx(2)^2+vy(2)^2 =raiz6^2+l(-tfrac253r)^2 =raiz36+tfrac6259 =raiztfrac324+6259 =raiz9493,m/s e :
Aí a velocidade escalar é

Resposta

(a) A trajetória em forma paramétrica é
x(t)=t^3-2t^2+2t, y(t)=tfrac13t^4-tfrac43t^3-3t+5
(b) A velocidade em v(2)=raiz9493,m/sapprox10,27;m/s ,s é

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