A trajectória de um veículo sobre um plano é descrita pelas equações paramétricas:
x(t)=4 t^3-3 t, y(t)=2 t^2+5
onde x e y estão em metros e t em segundos.
(a) Determine a equação da trajectória y(x).
(b) Encontre a velocidade do veículo em função do tempo.
© Calcule a aceleração do veículo em função do tempo.
(d) Determine a posição do veículo no instante t=2 s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a trajetória de um veículo no plano é dada por
x(t)=4t^3-3t, y(t)=2t^2+5,
com em segundos e em metros. A matéria aqui é Cinemática em coordenadas paramétricas: a gente vai
  • (a) eliminar o parâmetro pra achar em função de ,
  • (b) derivar pra obter a velocidade ,
  • © derivar de novo pra ter a aceleração e
  • (d) simplesmente avaliar em .
    Na prática a gente vai usar conceitos de eliminação de parâmetro e derivadas.

Passo 2

(a) Eliminar o parâmetro pra achar a equação da trajetória t^2 = y-52 .
  1. Da equação x^2 = t^2,(4t^2-3)^2 isolamos 4t^2-3 = 4l(y-52r)-3 = 2(y-5)-3 = 2y-13
  2. Aí usamos x^2 = y-52,(2y-13)^2 Longrightarrow (2y-13)^2,(y-5)=2,x^2, . Então
  3. Substituindo em :
  4. Concluímos
que é a forma implícita da trajetória.

Passo 3

(b) Velocidade vec v(t) = l(12t^2-3,;4tr) .
  • .
  • .
    Logo

Passo 4

© Aceleração vec a(t) = (24t,;4) .
  • .
  • .
    Então

Passo 5

(d) Posição em x(2)=4cdot2^3-3cdot2=32-6=26, y(2)=2cdot2^2+5=8+5=13 .
Logo o ponto é .

Resposta

a) Trajetória implícita:
b)
c)
d) Posição em :

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